¿Cuántas raíces reales tiene $x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 10$ ¿tiene?

Question

¿Cuántas raíces reales tiene este polinomio? $$x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 10$$

Como las raíces no reales vienen en pares, debe tener 4, 2 o 0 raíces reales. Siguiendo las reglas de signos de Descartes, tiene un número negativo (real) y uno o tres números positivos.

¿Cómo puedo saber si tiene 2 o 4 raíces reales?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una pista:

Tu polinomio puede ser factorizado en dos cuadráticas usando la diferencia de cuadrados:

$$x^2(x-2)^2-10=(x(x-2)+\sqrt{10})(x(x-2)-\sqrt{10}).$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

La forma genérica es utilizar un teorema del valor intermedio.

Como se trata de un polinomio - es una función continua, por lo tanto entre dos puntos arbitrarios $x_1 < x_2$ , s.t. $f(x_1) < 0 < f(x_2)$ (w.l.o.g.) existe $x_1 < x_3 < x_2$ y $f(x_3) = 0$ .

Además, entre dos ceros cualesquiera de una función diferenciable hay un cero de su derivada.

Tenemos : $f(0) = -10$ y obviamente para algunos grandes y pequeños $x$ $f(x) > 0$ es decir $f(1000) > 0$ y $f(-1000) > 0$ . Por lo tanto, hay al menos dos ceros.

$$f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2)$$

Podemos comprobar que tiene tres ceros ( $x = 0, x=1$ y $x =2$ ).

Como la función es positiva en los "infinitos", pero su derivada es un polinomio de tercer grado (es decir, negativa en $-\infty$ ) concluimos que $x=0$ es un mínimo local de $f$ . Posteriormente $x=1$ es el máximo local, y $x=2$ es el mínimo local una vez más.

Comprobando directamente el valor de la función en los extremos locales: $$f(0) = -10 \\ f(1) = -9 \\ f(2) = -10$$ establecemos que no hay ceros en $[0, 2]$

Por lo tanto, hay exactamente dos ceros de $f$ en $\mathbb{R}$ . Uno sobre $(-\infty, 0)$ y uno en $(2, \infty)$ .

Answer 3

Una posible forma de analizar las raíces es intentar trazar la gráfica de la función y ver dónde pasa de negativo a positivo.

Para ello, primero vemos el comportamiento final del gráfico. Obsérvese que para valores negativos y positivos muy grandes, el único término importante es el principal, que es $x^4$ . Por lo tanto, a medida que nos acercamos $-\infty$ o $+\infty$ el valor de la función es positivo.

A continuación tenemos que encontrar los puntos de inflexión de esta gráfica, es decir, donde la pendiente de la función llega a cero

$$\begin{align*} f’(x)&= 4 x^3 -12x^2+8x \\ &= 4x (x^2-3x+2)\\ &= 4x(x-1)(x-2)=0 \end{align*}$$

La ecuación anterior tiene raíces en x=0,1,2 lo que significa que la función tiene 3 puntos de inflexión. Estos son los únicos lugares donde nuestra función puede cambiar su comportamiento, es decir, de creciente a decreciente o de decreciente a creciente.

Calculando el valor de la función en estos puntos obtenemos

$$\begin{align*} f(0)&=-10\\ f(1)&=-9\\ f(2)&= -10 \end{align*}$$

Ahora conocemos el comportamiento de la función

1. Desde $x=-\infty$ a $x=0$ la función disminuye de positivo a negativo, lo que significa que tenemos un cero en esta región

2. Desde $x=0$ a $x=1$ la función comienza a aumentar a partir de $f(0)=-10$ a $f(1)=-9$

3. Desde $x=1$ a $x=2$ la función vuelve a empezar a disminuir y pasa de $f(1)=-9$ a $f(2)=-10$

4. Desde $x=2$ a $x=+\infty$ la función aumenta de un valor negativo a un valor positivo y por lo tanto tenemos otro cero aquí

Por lo tanto, tenemos 2 ceros reales.

Answer 4

$$f(x)=x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 10$$

$$f'(x)=4x^3-12x^2+8x=4(x-0)(x-1)(x-2)$$

$$f'(x)=0 \iff \left\{\begin{align} x&=0\\ x&=1\\ x&= 2 \end{align}\right.$$

$$f''(x) = 12x^2 - 24x + 8=12(x-1)^2-4$$

$$f''(0)=8>0 \qquad f''(1)=-4<0 \qquad f''(2)=8>0$$

• La función se aproxima $\infty$ como $x \to -\infty$

• La función tiene un mínimo local de $f(0) = -10$ en $x=0$ .

• La función tiene un máximo local de $f(1) = -9$ en $x=1$ .

• La función tiene un mínimo local de $f(2) = -10$ en $x=2$ .

• La función se aproxima $\infty$ como $x \to \infty$ .

• $f(x)$ disminuye de $\infty$ a $-10$ en $(-\infty, 0]$

• $f(x)$ aumenta de $-10$ a $-9$ en $[0, 1]$

• $f(x)$ disminuye de $-8$ a $-10$ en $[1,2]$

• $f(x)$ aumenta de $-10$ a $\infty$ en $[2, \infty)$

Así que

• La función tiene un cero en el intervalo $(-\infty, 0]$ .
• La función no tiene ceros en el intervalo $[0, 2]$ .
• La función tiene un cero en el intervalo $[2, \infty)$ .

Answer 5

Sugerencia Sustituyendo $x = u + 1$ da el polinomio bicadrático $$u^4 - 2 u^2 - 9 = (u^2 - 1)^2 - 10 ,$$ dando la factorización $$[u^2 - (1 + a)][(u^2 - (1 - a))] , \qquad a := \sqrt{10} .$$

Desde $a > 1$ el primer factor, $u^2 - (1 + a)$ tiene dos raíces reales y el segundo factor tiene raíces imaginarias no nulas, por lo que el polinomio en $u$ ---y, por tanto, el polinomio en $x$ ---tiene exactamente dos raíces reales.