Supongamos que tenemos un conjunto infinito $S$ de números compuestos positivos tales que los factores primos $p$ de $n \in S$ tienen la propiedad de que $p \to \infty$ como $n \to \infty$ . ¿Qué es? $$ \lim_{\substack{n \to \infty \\ n \in S}} n - \phi(n)? $$ Es $0$ ? Digo esto a la luz del hecho de que $\phi(n)/n \to 1$ como $n \to \infty$ pour $n \in S$ desde $$ \dfrac{\phi(n)}{n} = \prod_{p \mid n} \left( 1 - \dfrac{1}{p} \right). $$ ¿Qué tal el caso cuando $S$ consiste en un número infinito de números de Mersenne compuestos (si es que existe tal conjunto) cuyo número de factores primos es una constante? ¿Podemos decir algo especial en este caso?
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Si $S$ es el conjunto de los primos, entonces para cualquier $p \in S$ tenemos $p - \phi(p) = 1$ y por lo tanto su límite es 1 en este caso.
Si $S = \{ s_n \}$ , donde $s_n = p_n p_{n+1}$ y $p_n$ denota el $n$ primo, entonces $$ s_n - \phi(s_n) = p_np_{n+1} - (p_n-1)(p_{n+1}-1) = p_n + p_{n+1} - 1 $$ se acerca a $\infty$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto, el límite puede no existir, incluso si $S$ contiene sólo números compuestos.
Para cualquier $n,m$ tenemos $nm-\phi(nm)\ge n(m-\phi(m)).$ Así, para $n$ compuesto, $n-\phi(n)$ debe ser mayor o igual que $s-\phi(s)$ donde $s$ es el mayor semiprimo que divide a $n$ . Pero como sabemos que $pq-\phi(pq)=p+q-1$ si $p\ne q$ y $=p$ si $p=q$ sabemos que $n-\phi(n)$ pour $n\in S$ lo hará:
- divergen a $\infty$ si $S$ contiene sólo un número finito de primos
- converge a $1$ si $S$ sólo contiene un número finito de compuestos
- oscila entre $1$ y números arbitrariamente grandes en caso contrario
En particular, dado que $2^d-1\mid 2^n-1$ siempre que $d\mid n$ hay infinitos números de Mersenne compuestos, por lo que $n-\phi(n)$ ciertamente no converge, pero si diverge a $\infty$ o oscila depende de si hay o no infinitos primos de Mersenne, lo cual es un problema abierto.
Los puntos límite de los valores $\phi(n)/n$ tomas son $\prod_{p\in A}(1-p^{-1})$ sobre todos los conjuntos $A$ de los primos. Contiene $0$ y $1$ y muchas cosas más, así que $\phi(n)/n$ puede oscilar o converger de algunas formas interesantes y ligeramente complicadas. Incluso si $S$ contiene sólo compuestos, con sólo un número finito divisible por cualquier primo dado (así que todos los factores primos $\to\infty$ ), todavía podemos organizar $\phi(n)/n\to0$ que es el otro extremo de $\to 1$ como usted sugiere. De hecho, considere $S=\{p^2:p~\rm prime\}$ .
