Creación de un subgrupo normal a partir de una clase de equivalencia

Question

Mi instructor escribió que "[un] grupo cociente es un grupo obtenido por la agregación de elementos similares de un grupo mayor utilizando una relación de equivalencia. En un cociente de un grupo, la clase de equivalencia del elemento de identidad es siempre un subgrupo normal del grupo original, y las otras clases de equivalencia son los cosets de este subgrupo normal ...."

Dio un ejemplo $\mathbb Z_6 /\{0, 2, 4\}$ . La operación es la adición mod 6. He podido escribir la relación de equivalencia $x \equiv 0 \leftrightarrow 3x = 0 \space mod \space 6 $ . De hecho, $\{0, 2, 4\}$ es un subgrupo normal de $\mathbb Z_6$ y $\{1, 3, 5\}$ es el otro coset de $\mathbb Z_6 /\{0, 2, 4\}$ .

La cuestión es cómo demuestro la afirmación en general, sin saber cuál es la relación de equivalencia. No creo que las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva sean suficientes por sí solas. Por ejemplo, si $a \in [\space 0 \space]_\equiv $ ¿Cómo sé que $-a \in [\space 0 \space]_\equiv $ ?

Answer 1

Tienes razón. También tiene que ser compatible con las operaciones: la operación de grupo y la inversa, lo que significa que $\equiv$ también es necesario para satisfacer $$a\equiv a',\ \ \ b\equiv b'\ \implies\ ab\equiv a'b',\ \ \ a^{-1}\equiv(a')^{-1}\,. $$

Answer 2

Cualquier equivalencia de este tipo debe suponerse que surge de una partición que respeta la operación de grupo, lo que significa que para calcular el producto de $A$ y $B$ (conjuntos en la partición), puede seleccionar $a \in A$ y $b \in B$ y el producto $AB$ será la partición que contiene $ab$ . Si las particiones forman un grupo bajo esta operación, entonces la partición que contiene a 1 será un subgrupo normal del grupo original, y los otros conjuntos de la partición serán cosets de él. (demostrar esto)

Si su partición comienza como cosets de un subgrupo normal para empezar, como en su pasaje citado, entonces no hay nada que comprobar. Es sólo un replanteamiento de lo que significa formar el grupo cociente.

Trabaja más ejemplos.