¿Hay alguna manera más fácil de confirmar que esta función satisface la ecuación de Laplace?

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta.

$f(x,y)= \sqrt{5x^2+5y^2} $

Primer hallazgo $f_x$ , $f_{xy}$ y $f_y$ , $f_{yx}$ (ver más abajo)

Pero la última parte de la pregunta se refiere a si esto satisface la ecuación de Laplaces $f_{xx}+f_{yy}=0$

Mi pregunta es : ¿Existe una manera más fácil de responder a esta pregunta conociendo los resultados de la primera parte de la pregunta? Mi razón es que $f_{xx}$ y $f_{yy}$ parecen ser demasiado engorrosos.

$f_x(x,y) =\frac{5x}{\sqrt{5x^2+5y^2}} $

$f_{xy}(x,y) =\frac{25xy}{(\sqrt{5x^2+5y^2})^{-\frac{3}{2}}} $

$f_y(x,y) =\frac{5y}{\sqrt{5x^2+5y^2}} $

$f_{yx}(x,y) =\frac{25xy}{(\sqrt{5x^2+5y^2})^{-\frac{3}{2}}} $

Answer 1

Dudo que debas usarlo, pero el principio de máxima obras. A grandes rasgos, dice que una función armónica no puede tener un máximo/mínimo local verdadero.

Como puedes ver, esta función es no negativa y tiene el valor $0$ en $(0,0)$ por lo que sí tiene un mínimo local. Además, no es constante (por ejemplo, ya que su valor es $\sqrt5$ en $(1,0)$ ), por lo que, por el principio de máxima, no puede ser armónico.

También puede utilizar la propiedad del valor medio, que dice que si $f$ es armónico en algún conjunto abierto que contenga el disco unitario, $B(0,1)$ entonces para alguna constante positiva apropiada $c$ ,

$$f(0,0) = c\cdot \int_{B(0,1)}f\,dV.$$ Combine esto con el hecho de que $f(0,0) = 0$ y que $f$ es positiva en casi todas partes, se obtiene que la lhs es cero mientras que la rhs es positiva, lo que es imposible por lo que $f$ no puede ser armónico.

Si está interesado, puede leer más sobre las funciones armónicas en wikipedia .