La primera frase de esta pregunta, incorpora otra falacia (relacionada):
"Como todos sabemos, si se lanza una moneda que tiene la misma probabilidad de de salir cara como de salir cruz, entonces si se lanza la moneda muchas veces, la mitad de las veces saldrá cara y la otra mitad saldrá cruz ."
No, no conseguiremos eso, no conseguiremos la mitad de las veces cara y la mitad de las veces cruz. Si consiguiéramos eso, entonces el Jugador no estaría tan equivocado después de todo . La expresión matemática de esta afirmación verbal es la siguiente: Para un "gran" (pero finito) $n'$ tenemos $n_{h} = \frac {n'}{2}$ donde evidentemente $n_{h}$ indica el número de veces que la moneda sale cara. Como $n'$ es finito, entonces $n'+1$ también es finito y un valor distinto de $n'$ . Así que lo que sucede después de el $n'+1$ ¿se ha hecho un flip? O ha salido cara, o no. En ambos casos, $n_h$ acaba de dejar de ser igual a "la mitad del número de lanzamientos".
Pero quizás lo que realmente queríamos decir era un "inimaginablemente grande" $n$ ? Entonces afirmamos
$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$
Pero aquí, el RHS ("lado derecho") contiene $n$ que por el LHS ("left-hand-side"), ha pasado al infinito. Así que el Lado Derecho también es infinito, y por tanto lo que dice esta afirmación es que el número de veces que la moneda saldrá cara es igual a infinito, si lanzamos la moneda un número infinito de veces (la división por $2$ es insignificante) :
$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$
Esta es una afirmación esencialmente correcta, pero inútil y obviamente no es lo que tenemos en mente.
En definitiva, la afirmación de la pregunta no se sostiene, independientemente de que el "total de lanzamientos" se considere finito o no.
Tal vez entonces debamos afirmar
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$
En primer lugar, esto se traduce en "La proporción del número de cabezas que salen sobre el número total de lanzamientos tiende al valor $1/2$ cuando el número de lanzamientos tiende a infinito", que es una afirmación diferente - no hay "la mitad del total de lanzamientos" aquí. Además, así es como probabilidad se sigue percibiendo a veces como un límite determinista de las frecuencias relativas. El problema de esta afirmación es que contiene en el LHS una forma indeterminada: tanto el numerador como el denominador van al infinito.
Hmmm, traigamos el variable aleatoria arsenal. Definir una variable aleatoria $X_i$ como tomar el valor $1$ si el $i$ -El sorteo salió cara, $0$ si sale cruz. Entonces tenemos $$ \frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$
¿Podemos ahora al menos afirmar
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$
No . Se trata de un límite determinista. Permite todos los posibles realizaciones de la secuencia del $X$ por lo que ni siquiera garantiza que exista un límite, y mucho menos que sea igual a $1/2$ . De hecho, tal afirmación sólo puede ser vista como una restricción en la secuencia, y destruiría la independencia de los lanzamientos.
Lo que puede decir, es que esta suma media converge en la probabilidad ("débilmente") a $1/2$ (Ley de Bernoulli de los grandes números),
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$
y en el caso que nos ocupa, que también converge casi seguramente ("fuertemente") (Borel -Ley de los Grandes Números)
$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$
Pero se trata de afirmaciones probabilísticas sobre el probabilidad asociado a la diferencia entre $n_h/n$ y $1/2$ y no sobre el límite de la diferencia $n_h-n_t$ (que según la afirmación falsa debería ser cero, y no lo es).
Hay que admitir que se necesita un esfuerzo intelectual dedicado para realmente entender estas dos afirmaciones, y en qué se diferencian (en la "teoría" y en la "práctica") de algunas de las anteriores -todavía no pretendo una comprensión tan profunda para mí-.
