¿Por qué la multiplicación de matrices está definida como está?

Question

La multiplicación de matrices se define como:

Sea $A$ ser un $n \times m$ matriz y $B$ a $m\times p$ matriz, el producto $AB$ se define como una matriz de tamaño $n\times p$ tal que $(AB)_i,_j = \sum\limits_{k=1}^mA_i,_kB_k,_j$ .

¿Por qué razón los matemáticos lo definieron así?

Answer 1

Una matriz no es más que una representación particular de un mapa lineal (con respecto a una elección de bases en el espacio de origen y de destino). La fórmula es lo que resulta (naturalmente) si se observa la composición de dichos mapas y se escriben utilizando una matriz.

Answer 2

Una razón es que te da asociatividad con un vector: Si $A$ y $B$ son matrices y $x$ es un vector, entonces

$$ (AB)x = A(Bx) $$

ETA: Esto no dice nada más que la respuesta de Thomas, por cierto; pensé que podría ayudar si se presentaba de una manera más tangible, sin embargo.

Answer 3

Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita, $\mathcal{B}$ sea una base de $V$ y $f,g\in\textrm{End}(V)$ . Uno tiene: $$\textrm{mat}_{\mathcal{B}}(f\circ g)=\textrm{mat}_{\mathcal{B}}(f)\times\textrm{mat}_{\mathcal{B}}(g).$$ Creo que la definición de multiplicación de matrices deriva de ahí.