Forma implícita de la ecuación general

Question

Encuentra, en forma implícita, la solución general de la ecuación diferencial: $$\frac{dy}{dx}= \frac{2y^4e^{2x}}{3\left(e^{2x}+7\right)^2}$$

Me cuesta encontrarle sentido a esto. Lo que he entendido es que primero tengo que separar las variables y luego integrar, pero no estoy seguro de cómo separar las variables.

Las ecuaciones que tengo son : dy/dx=f(x)g(y) luego dividir ambos lados por g(y) para obtener 1/g(y) dy/dx=f(x)

Sólo que no estoy seguro de qué parte de las ecuaciones sería la pary g(y) y f(x). Cualquier ayuda se agradece mucho.

Answer 1

Dejemos que $y=y(x)$ entonces $$ \frac{dy}{dx}= \frac{2y^4e^{2x}}{3\left(e^{2x}+7\right)^2}, $$ o $$ -\frac{3}{y^4}\frac{dy}{dx}=-\frac{2e^{2x}}{\left(e^{2x}+7\right)^2}, $$ equivalentemente $$ \frac{d}{dx}\big(y^{-3}\big)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{e^{2x}+7}\right), $$ y por lo tanto $$ y^{-3}=\frac{1}{e^{2x}+7}+c, $$ para alguna constante real $c$ .

Answer 2

SUGERENCIA:

Por lo tanto, tenemos $$\frac{dy}{y^4}=\frac{2e^{2x}dx}{3(e^{2x}+7)^2}$$

Integrar los dos lados mediante la sustitución $e^{2x}+7$ con $u$