Problema de la tarea de integración

Question

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x \log(x)}{(x^{2}+1)^{2}}dx$$

Tengo que averiguar si converge. Y si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es el valor?

Tengo esto como tarea en mi examen. Llego hasta el final y no puedo resolver con 0

Answer 1

La integral es $0$ . Por un lado $$ \int_1^{\infty}\frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx<\int_1^\infty \frac{x^2}{x^4}dx < \infty. $$ Por otro lado $$ \int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx=\int_\infty^1\frac{-\ln t}{t (t^{-2}+1)^2}\frac{1}{-t^2}dt=-\int_1^\infty\frac{t\ln t}{(t^2+1)^2}dt. $$

Answer 2

Dejemos que $x=\tan y$

$$I=\int_0^\infty\dfrac{x\ln x}{(1+x^2)^2}dx=\dfrac12\int_0^{\pi/2}\sin2y\ln(\tan y)dy$$

Utilizando $\displaystyle\int_a^bf(y)\ dy=\int_a^bf(a+b-y)\ dy,$

$$2I=\int_0^{\pi/2}\sin2y\ln(\tan y)dy=\int_0^{\pi/2}\sin2y\ln(\cot y)dy$$

$$2I+2I=\int_0^{\pi/2}\sin2y\{\ln(\tan y)+\ln(\cot y)\}dy$$

Mais $\ln(\tan y)+\ln(\cot y)=\ln\{\tan y\cdot\cot y\}=?$