Es $y'=y^2$ ¿Lipschitz?

Question

Me dieron un ejemplo del uso de una función que es Lipschitz para mostrar que una EDO como una sloución única

$$ \begin{cases} y'=y^2\\ y(0)=1\\ \end{cases} $$

ahora la solución es $y=\frac{1}{x+1}$ pero ¿cómo podríamos comprobar que la función es Lipschitz sin resolver la EDO?

Si tomamos $y=\frac{1}{x+1}$ y evaluar $y'=\frac{-1}{(x+1)^2}$ podemos ver que $|\frac{-1}{(x+1)^2}|=\frac{1}{(1+x)^2}\leq 1$

Answer 1

Solución de la EDO para ser Lipschitz no debe confundirse con el que define la ODE para ser Lipschitz.

Para un problema ODE $y^\prime(x) = f(y,y(x))$ , $y(x_0)=y_0$ El Teorema de Cauchy-Lipschitz establece que si $f$   es uniformemente continua de Lipschitz en $y$ entonces la EDO tiene una solución única. Este es el caso del problema de la ODE que consideras.

Para comprobar esta condición, no es necesario encontrar la solución en sí.

Y aquí, la solución (máxima) no es Lipschitz continua como $\lim\limits_{x \to -1^+} y(x) = \infty$ .