Supongamos que $f$ y $g$ son funciones medibles sobre $\mathbb{R}^d$ . Demostrar que $f(x-y)g(y)$ es medible en $\mathbb{R}^{2d}$ .

Question

Este es un problema que aparece en el texto de Análisis Real de Stein y Shakarchi. A continuación se presentan algunos resultados relevantes para este problema que aparecen en otra parte del texto, expuestos exactamente como están escritos allí.

Corolario 3.7 : Supongamos que $f$ es una función medible en $\mathbb{R}^d$ . Entonces la función $f$ definido por $\tilde{f}(x,y) = f(x)$ es medible en $\mathbb{R}^{d_1} \times \mathbb{R}^{d_2}$ .

Propuesta 3.9 : Si $f$ es una función medible en $\mathbb{R}^d$ entonces la función $\tilde{f}(x,y) = f(x-y)$ es medible en $\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d$ .

Propiedad 5 (ii) : Si $f$ y $g$ son medibles, entonces $f + g$ y $fg$ son medibles si tanto $f$ y $g$ son de valor finito.

Observación sobre la propiedad 5 (ii) : La propiedad 5 (ii) también se cumple cuando $f$ y $g$ son de valor finito en casi todas partes.

Por el Corolario 3.7, tanto $\tilde{f}(x,y) = f(x)$ y $\tilde{g}(x,y) = g(y)$ son medibles en $\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d = \mathbb{R}^{2d}$ . Por la Proposición 3.9, la función $\tilde{\tilde{{f}}}(x,y) = f(x-y)$ es medible en $\mathbb{R}^{2d}$ .

Tenemos que $f(x-y)$ y $g(y)$ son cada uno de ellos medibles en $\mathbb{R}^{2d}$ . Queda por demostrar que su producto es medible en $\mathbb{R}^{2d}$ Y aquí es donde entra mi pregunta.

Por la propiedad 5 (ii) y la observación que sigue, el producto de dos funciones medibles no es, en general, medible; necesitamos saber que $f(x-y)$ y $g(y)$ son cada uno de ellos de valor finito o de valor finito en casi todas partes. Sin embargo, en el enunciado del problema, la única información que se nos da es $f$ y $g$ son medibles en $\mathbb{R}^{2d}$ . En general, las funciones medibles no son de valor finito o de valor finito en casi todas partes.

¿Me falta algo? ¿Hay alguna suposición subyacente sobre $f$ y $g$ ¿que no estoy prestando atención? ¿Cómo puedo demostrar que $f$ y $g$ son cada uno de ellos de valor finito o de valor finito en casi todas partes para completar la prueba?

Gracias.

Answer 1

Para responder al comentario, podríamos definir $(-\infty)(\infty)=-\infty$ que estoy seguro que es la convención habitual. También, $0\times \infty = 0\times (-\infty)=0$ y así sucesivamente. Los únicos problemas con la aritmética son cosas como $\frac{1}{\infty}$ , $\frac{1}{0}$ y $\infty-\infty$ . Mientras evitamos estas cosas, todo lo demás funciona "bien".

La propiedad 5(ii) puede generalizarse como sigue:

• Dejemos que $f,g:\Bbb{R}^d\to [-\infty,\infty]$ sea medible (de Lebesgue). (En realidad el dominio puede ser cualquier espacio de medida, pero si no recuerdo mal, Stein y Shakarchi no llegan a esto hasta más adelante). Entonces, $fg$ es medible (de Lebesgue). Además, si la suma $f+g$ está bien definida (es decir, para cada $x\in \Bbb{R}^d$ tenemos $(f(x),g(x))\notin \{(\infty, -\infty), (-\infty, \infty)\}$ ), entonces $f+g$ también es medible por Lebesgue.

La prueba, por supuesto, tendrá que ser diferente. Por ejemplo, podríamos proceder directamente. Recordemos las siguientes equivalencias para la mensurabilidad de una función $f:\Bbb{R}^d\to [-\infty,\infty]$ :

• Para todo conjunto de Borel (o incluso abierto) $V\subset [-\infty,\infty]$ , $f^{-1}(V)$ es medible.
• Para todo conjunto de Borel (o incluso abierto) $U\subset \Bbb{R}$ los conjuntos $\{f=\infty\}, \{f=-\infty\}$ y $f^{-1}(U)$ son medibles.

Así, para el caso del producto, tenemos: \begin{align} \{fg=\infty\} &= \bigg(\{f=\infty\}\cap\{0< g\leq \infty\}\bigg) \cup\bigg(\{f=-\infty\}\cap \{-\infty \leq g < 0\}\bigg)\\ & \cup \bigg(\{g=\infty\}\cap\{0< f\leq \infty\}\bigg) \cup\bigg(\{g=-\infty\}\cap \{-\infty \leq f < 0\}\bigg) \end{align} Cada uno de los ocho conjuntos de la derecha es medible porque $f$ y $g$ son. Todas estas son operaciones básicas de conjuntos, por lo que $\{fg=\infty\}$ también es medible. Un razonamiento similar es válido para $\{fg=-\infty\}$ . Para terminar la demostración, necesitamos mostrar que para cada Borel $U\subset \Bbb{R}$ el conjunto $(fg)^{-1}(U)$ es medible; pero esto se deduce de la versión finita.

En efecto, dejemos que $\phi=f$ siempre que $f$ es finito, y $0$ en otro lugar. Definir $\gamma$ en términos de $g$ de manera similar. Entonces, $\phi, \gamma$ son medibles porque $f$ y $g$ son. Entonces, para cada conjunto de Borel $U\subset \Bbb{R}$ tenemos \begin{align} (fg)^{-1}(U) &= (fg)^{-1}(U\setminus \{0\}) \cup (fg)^{-1}(0)\\ &= (\phi\gamma)^{-1}(U\setminus \{0\})\cup f^{-1}(0)\cup g^{-1}(0) \end{align} Se trata de una unión de conjuntos medibles, por tanto, medibles. Esto completa la prueba de que $fg$ es medible.

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Esencialmente es un poco más de trabajo en el caso, pero aparte de eso el resultado es verdadero. Por lo tanto, $(x,y)\mapsto f(x-y)g(y)$ también es medible.