Volumen del hiperelipsoide

Question

¿Cómo puedo calcular el volumen del hiperelipsoide correspondiente a una distancia de Mahalanobis $r^2 = (x-\mu)^{T}\Sigma^{-1}(x-\mu)$ ?

Estoy un poco confundido porque la respuesta implica $r$ :

$$V = V_{d} |\Sigma|^{1/2}r^{d}$$ con $V_{d}$ como el volumen de una hiperesfera unitaria d-dimensional. He visto que algunos enunciados de este problema describen $V_{d}$ como:

$$V_{d} = \left\{ \begin{array}{ll} \pi^{d/2}/(d/2)! \;\;\; \text{for d even}\\\ 2^{d}\pi^{(d-1)/2}\left(\frac{d-1}{2}\right)!/(d)! \;\;\; \text{for d odd} \end{array}\right.$$

Pensé que debía integrar $r^{2}$ en $r\in [0, 1]$ y la superficie de una hiperesfera unitaria, pero eso no da la respuesta correcta. ¿Cuál es el procedimiento correcto?

Gracias de antemano

Answer 1

Su elipsoide es la transformación de la esfera de radio $r$ por la transformación lineal de la matriz $Σ^{1/2}$ .

El volumen de la esfera de radio $r$ en un $d$ -es el espacio de las dimensiones $V = \frac 2 d \frac {\pi ^ {d/2}} {\Gamma ( d/2) } r^d = V_d r^d$ . wikipedia . Tenga en cuenta la $r^d$ .

Obtienes el volumen del elipsoide multiplicando con el determinante de la transformada lineal, que es exactamente tu fórmula.

Answer 2

Puedes poner $r$ en el lado derecho: $1 = (x-\mu)^T(r \Sigma^{1/2})^{-2} (x-\mu)$ . Entonces la respuesta es más clara: $V = V_d\ \det(r\Sigma^{1/2}) = V_d\ \det(\Sigma)^{1/2}r^d$ .