Inducir una equivalencia de $G$ -categorías equivariantes

Question

Supongamos que tenemos una equivalencia de categorías trianguladas $\Phi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ . Sea $G$ sea un grupo finito. ¿Existen métodos/condiciones para especificar cuándo se tiene una equivalencia inducida $\Phi^G : \mathcal{A}^G \to \mathcal{B}^G$ de los asociados $G$ -¿categorías equivariantes?

El caso particular que me interesa es cuando $\mathcal{A}$ es un componente semiortogonal de $D^b(X)$ y $\mathcal{B}$ es un componente semiortogonal de $D^b(X')$ , donde $X$ y $X'$ son variedades complejas proyectivas lisas. El grupo $G$ en mi caso puede ser algo sencillo como $\mathbb{Z}/2$ .

Answer 1

Necesitas algunas suposiciones. Pero en el caso de subcategorías admisibles, si su equivalencia viene dada por un functor de Fourier-Mukai $\Phi_K$ y el objeto $K \in D^b(X \times X')$ es $G$ -equivariante, entonces $\Phi^G$ se puede definir.

Véase arXiv:1403.7027, Teorema 6.9 para una declaración general de este tipo.