norma de $T$ inducido por la norma 1

Question

Cómo demostrarlo:

Si $T\in L(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n)$ entonces $\|T\|= \sup_{i \in \{1,\dotsc,n\}} \|Te_i\|_1$ , para $\|T\|$ la norma del operador de $T$ inducido por el $1$ -normas sobre $\mathbb{R}^n$ .

Answer 1

Por un lado, dejemos que $x \in \mathbb{R}^n$ para que $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$ para $x_i \in \mathbb{R}^n$ y supongamos que $x$ es un vector unitario para el $1$ -norma, es decir, $1 = \|x\|_1 := \sum_{i=1}^n |x_i|$ . Entonces $$ \|Tx\|_1 = \left\|\sum_{i=1}^n x_i T e_i\right\|_1 \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \|Te_i\|_1 \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \sup_i\|T e_i\|_1 = \sup_i \|T e_i\|_1, $$ para que $$ \|T\| = \sup_{\|x\|_1 = 1} \|Tx\|_1 \leq \sup_i \|T e_i\|_1. $$ Por otra parte, dado que cada $e_i$ es un vector unitario para el $1$ -norma, para cada $i$ , $$ \|T e_i\|_1 \leq \sup_{\|x\|_1=1} \|Tx\|_1 = \|T\|, $$ y por lo tanto $$ \sup_i \|Te_i\|_1 \leq \|T\|. $$