¿Cómo llegar a la fórmula de la suma de cuadrados de los primeros n números?

Question

Posible duplicado:
¿Cómo puedo crear una función para contar una pirámide de manzanas?
Prueba de que $\sum\limits_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ?
¿Suma finita de poder?

Sé que la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales es $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ . Sé cómo demostrarlo inductivamente. Pero, ¿cómo, suponiendo que no tengo idea de esta fórmula, debo determinarla? La secuencia $a(n)=1^2+2^2+...+n^2$ no es geométrica ni aritmética. La diferencia entre los términos consecutivos es 4, 9, 16 y así sucesivamente, lo que no ayuda. ¿Podría alguien ayudarme y explicarme cómo debería llegar a la conocida fórmula suponiendo que no la conociera y estuviera en alguna isla desierta?

Answer 1

Esto se demuestra, por ejemplo, en la obra de Stewart Cálculo :

Considere la siguiente suma: $$\sum_{i=1}^n((1+i)^3-i^3).$$

En primer lugar, considerándolo como una suma telescópica, obtendrá $$\sum_{i=1}^n((1+i)^3-i^3)=(1+n)^3-1.$$

Por otro lado, también tiene $$\sum_{i=1}^n((1+i)^3-i^3)=\sum_{i=1}^n(3i^2+3i+1)=3\sum_{i=1}^ni^2+3\sum_{i=1}^ni+n.$$

Utilizando estas dos expresiones, y el hecho de que $\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$ Ahora se puede resolver para $\sum_{i=1}^ni^2$ .

Answer 2

Podrías empezar adivinando que la fórmula que buscas es una cúbica, lo que significa que se puede escribir como $an^3+bn^2+cn+d$ .

Puedes adivinar esto por analogía con la suma de las primeras potencias siendo un cuadrado o por analogía con la integración. Entonces puedes calcular los cuatro primeros términos y resolver $a, b, c, d$ . Otra forma es observar que $a(n + 1)^3 + b(n + 1)^2 + c(n + 1) + d - (an^3 + bn^2 + cn + d) = (n + 1)^2$ y equiparar las potencias similares de $n$ .