Ampliar $f(z) = {(z+1)^2\over z(z^3+1)}$ en una serie de Laurent sobre $z = 0$

Question

Intentar expresar esto como una fracción parcial ha resultado infructuoso, y no puedo encontrar ningún ejemplo que reproduzca una serie de Laurent que no sea fácil de convertir en una fracción parcial, o que tenga una obvia $\frac{1}{z}$ expresión. Lo más cercano que conseguí fue expresar el $(z^3+1)^{-1}$ término como $1 - z^3 + z^6 - z^9\dots$ (que creo que es válida, ya que el anillo en el que $z$ es analítico requiere $\mod z$ para ser menos que $1$ ), lo que dio lugar a $$\frac{1}{z} + 2 + z - z^2 - 2z^3 - z^4 + z^5 + 2z^6 +z^7\dots,$$ y me falta el poder mental para convertirlo en una serie de Laurent.

También soy pésimo en matemáticas, y esto es parte de un módulo que es una adición de matemáticas a mi curso de no matemáticas, así que si usted piensa que hay una respuesta muy trivial y sólo estoy siendo super tonto que es muy una posibilidad.

Gracias.

Answer 1

Tienes razón, el único paso que queda es multiplicar los términos: $$\frac{(z+1)^2}{z(z^3+1)}=\frac{z^2+2z+1}{z(1-(-z)^3)}=\frac{z+2+\frac{1}{z}}{1-(-z)^3}=\left(z+2+\frac{1}{z}\right)(1+(-z)^3+(-z)^6+\ldots)$$