Encuentra enteros positivos y coprimos cuyos recíprocos sumen 1.

Question

Leer "Encuentra cinco enteros positivos cuyos recíprocos sumen 1" Me preguntaba si es posible encontrar

Recíprocos de números enteros positivos, coprimas entre sí, que suman 1.

Podemos encontrar recíprocos de longitud arbitraria que sumen 1 aplicando las siguientes reglas para obtener secuencias más largas a partir de otras más cortas:

Tenemos $\frac1n-\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}$ y por lo tanto

$$\frac1n = \frac1{n+1} + \frac1{n(n+1)} \qquad (1)$$

y tenemos el trivial

$$\frac1n = \underbrace{\frac1{kn} + \frac1{kn} +\cdots}_{k \text{ times}} \qquad (2.k)$$

Le site coprime implica que todos los denominadores deben ser desiguales entre sí, y podemos conseguirlo aplicando las reglas de división anteriores para obtener secuencias de longitud arbitraria. Por ejemplo, aplicar 3 veces la regla (2.2) y la regla (1) una vez para obtener una secuencia de longitud 5 con 5 denominadores diferentes: $$\begin{align} 1 &= \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac18 \\ &= \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac19 + \frac1{72} \end{align}$$

Sin embargo, estas reglas de sustitución siempre producirán al menos 2 denominadores que no son coprimos entre sí.

¿Existe una prueba de que las particiones coprimas y egipcias de la unidad no existen?

Por ejemplo, el hilo vinculado anteriormente tiene una respuesta con un ordenador generado lista de particiones egipcias de longitud 5 pero, por lo que veo, todas las particiones tienen al menos un par con $\gcd\geqslant2$ .

En el caso de que no existan tales particiones (o sólo un número finito de ellas), entonces: ¿Existen particiones coprimas y egipcias para cada número natural? (Excluyendo el 1 como denominador).

Answer 1

Digamos que los enteros son $a_1, a_2, ..., a_n$ .

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}=1$

$\frac{\sum_{i=1}^{n}{\prod_{j\neq i}{a_j}}}{\prod_{i=1}^{n}{a_i}}=1$

$\sum_{i=1}^{n}{\prod_{j\neq i}{a_j}}= \prod_{i=1}^{n}{a_i}$

$\prod_{j \neq 1}{a_j}+ \sum_{i=2}^{n}{\prod_{j\neq i}{a_j}}= \prod_{i=1}^{n}{a_i} $

El primer término del lado izquierdo de la ecuación es el único no divisible por $a_1$ . Por lo tanto, tales conjuntos de recíprocos no existen.