Continuidad de una integral de superficie parametrizada de una función de sobolev

Question

Dejemos que $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ sea un dominio Lipschitz acotado y sea $v\in H^1(\Omega)$ . Además, dejemos que $S=(0,T)$ denota un intervalo de tiempo y deja que $s\in C^1(\overline{S\times\Omega},\overline{\Omega})$ . Para una hipersuperficie lisa $\Gamma\subset\Omega$ Quiero investigar la continuidad de una función $f\colon S\to\mathbb{R}$ definido a través de

$$f(t):=\int_\Gamma v(s(t,x))\,\mathrm{d}x.$$

Tengo la firme sospecha de que esta función es, efectivamente, continua pero, hasta ahora, no he conseguido dar una justificación rigurosa a esta sospecha. Tal vez una pista ya me sirva.

Answer 1

Se me ocurrió una solución a mi propia pregunta: elegir una secuencia de funciones continuas $g_n$ aproximando $v$ en $H^1(\Omega)$ (lo que es posible gracias a la densidad). Entonces, estimando

$$|f(t_1)-f(t_2)|\leq\int_{\Gamma}\left|v(s(t_1,x))\pm g_n(s(t_1,x))\pm g_n(s(t_2,x))-v(s(t_2,x))\right|\,\mathrm{d}x\\ \leq\int_{\Gamma}\left|v(s(t_1,x))-g(s(t_1,x))\right|+\left|g_n(s(t_1,x))- g_n(s(t_2,x))\right|+\left|g_n(s(t_2,x))-v(s(t_2,x))\right| $$

y utilizando la continuidad del $g_n$ y de $s$ produce la continuidad.