Demuestra que $f$ es continua en $\mathbb{R}$

Question

Dejemos que $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función tal que $f(x+cy)=f(x)+cf(y), \forall \,x,y \in \mathbb{R},\,\forall \,c \in \mathbb{R}$ . Demostrar que $f$ es continua.

Mi intento:
Tenemos que demostrar que $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a), \forall a\in\mathbb{R}$ . Al principio, traté de mostrar que $f$ es continua en $0$ y desde allí mostraría para todos $a\in\mathbb{R}$ . Ya he conseguido demostrar la segunda parte suponiendo que $f$ es continua en $0$ pero no veo cómo demostrar la primera parte. Sólo he conseguido que $f(0)=0$ . Estoy muy confundido, ¡agradezco cualquier ayuda!

Answer 1

"f es continua en R" significa que, para cada a en r, $\lim_{x\to a} f(x)= f(a)$ . Sea u= x- a para que se convierta en $\lim_{u\to 0} f(a+ u)= f(a)$ . Si $f(a+ u)= f(a)+ f(u)$ que se reduce a $\lim_{u\to 0} f(a)+ f(u)= f(a)+ \lim_{u\to 0} f(u)= f(a)$ así que $\lim_{u\to 0} f(u)= 0$ .