Solución general de ecuaciones simultáneas - Resistencias en paralelo

Question

Estoy diseñando un sistema que utiliza una red de sensores resistivos, y tengo problemas para averiguar la solución de un conjunto de ecuaciones que es la salida de este sistema. Hace mucho tiempo que no hago matemáticas en serio, así que no te preocupes por mí.

Las ecuaciones son:

$$\frac{\frac{1}{\frac{1}{R2}+\frac{1}{R3}+\frac{1}{R4}...\frac{1}{R_x}+\frac{1}{A}}}{R1+\frac{1}{\frac{1}{R2}+\frac{1}{R3}+\frac{1}{R4}...\frac{1}{R_x}+\frac{1}{A}}}=Y_1$$

$$\frac{\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R3}+\frac{1}{R4}...\frac{1}{R_x}+\frac{1}{A}}}{R2+\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R3}+\frac{1}{R4}...\frac{1}{R_x}+\frac{1}{A}}}=Y_2$$

$$\frac{\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}+\frac{1}{R4}...\frac{1}{R_x}+\frac{1}{A}}}{R3+\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}+\frac{1}{R4}...\frac{1}{R_x}+\frac{1}{A}}}=Y_3$$

$$...$$

$$\frac{\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}+\frac{1}{R3}...\frac{1}{R_{x-1}}+\frac{1}{A}}}{R_x+\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}+\frac{1}{R3}...\frac{1}{R_{x-1}}+\frac{1}{A}}}=Y_x$$

Con el número de ecuaciones igual al número de términos RR (así que para $R1R4$ En realidad, habría $4$ ecuaciones). $A$ es una constante, y $Y_1,Y_2,Y_3$ etc. son conocidos.

No tengo ni idea de cómo empezar a resolver esto. Necesito una solución general porque los valores van a cambiar constantemente con el tiempo. ¿Alguien tiene algún consejo?

editar: volver a poner A

edit: aquí hay un diagrama del circuito que representan estas ecuaciones.

$Y1$ es la tensión de salida con el interruptor superior conectado a +V y los otros conectados a 0V. $Y2$ es la tensión de salida con el segundo interruptor conectado a +V y los otros conectados a 0V. $Y3$ es la tensión de salida con el tercer interruptor conectado a +V y los otros conectados a 0V, etc.

En realidad, más exactamente, Y es la tensión de salida dividida por +v, para dar una relación. El circuito se puede simular utilizando esto enlace .

Answer 1

Dejemos que $\;\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}+\ldots+ \dfrac{1}{R_x}+\dfrac{1}{A}\;$ entonces las ecuaciones se pueden escribir como

$$\require{cancel} \dfrac{\;\;\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{R_k}}\;\;}{\;\;R_k+\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{R_k}}\;\;} = Y_k \;\;\iff\;\; R_k\left(\dfrac{1}{R}-\cancel{\dfrac{1}{R_k}}\right)+\cancel{1}=\frac{1}{Y_k} \;\;\iff \dfrac{1}{R_k} = \dfrac{Y_k}{R} \tag{1} $$

Resumen $\,(1)\,$ para $\,k=1,2,\ldots x\,$ da $\,\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{A}= \dfrac{Y}{R}\,$ donde $\displaystyle\,Y = \sum_{k=1}^x Y_k\,$ Así que $\,R = (1-Y)A\,$ entonces se deduce de $\,(1)\,$ que $\,R_k=\dfrac{(1-Y)A}{Y_k}\,$ .