Demostrar que el conjunto $\displaystyle\ \bigg{\{} \frac{1}{x-c}\bigg{\}}_{\displaystyle\ c \in \mathbb{R}\setminus[0,1]}$ es linealmente independiente.

Question

Pregunta: Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de todas las funciones de valor real definidas en el intervalo unitario $[0,1]$ . Demuestre que el conjunto $\displaystyle\ \bigg{\{} \frac{1}{x-c}\bigg{\}}_{\ c \in \mathbb{R}\setminus[0,1]}$ es linealmente independiente.

Intento: Supongamos por contradicción que el conjunto es linealmente dependiente. Entonces, $\exists$ un subconjunto finito $\displaystyle\bigg{\{}\frac{1}{x-c_i}\bigg{\}}_{i=1}^n$ que es linealmente dependiente.

Por lo tanto, para algunos $(d_1,d_2,...,d_n)\neq (0,0,..,0)$ debemos tener

$\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n\frac{d_i}{x-c_i}=\frac{d_1(x-c_2)...(x-c_n)+d_2(x-c_1)(x-c_3)...(x-c_n)+...+d_n(x-c_1)...(x-c_{n-1})}{(x-c_1)...(x-c_n)}=0$ para todos $x\in[0,1]$ .

Ahora, el denominador es $\neq 0$ $\forall x\in [0,1]$ .

Así que, $f(x)=0$ sólo cuando $d_1(x-c_2)...(x-c_n)+d_2(x-c_1)(x-c_3)...(x-c_n)+...+d_n(x-c_1)...(x-c_{n-1})=g(x)=0$ . Sin embargo, $g(x)$ es un polinomio de grado $\leq n-1$ y $g(x)=0$ por cada $x \in[0,1]$ lo que implica que el número de ceros de $g(x)$ es $>deg(g(x))$ Por lo tanto $g(x)$ debe ser idénticamente igual a $0 \implies (d_1,d_2,...,d_n)= (0,0,..,0) $ .

Por lo tanto, nuestra suposición de que el conjunto dado es linealmente dependiente no es sostenible, es decir, el conjunto es linealmente independiente.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Este argumento está incompleto en el último paso; no está claro que $g(x) = 0$ implica que el $d_i = 0$ . Has asumido que los polinomios del numerador son linealmente independientes, que es esencialmente el resultado que intentas demostrar. A priori podría haber alguna cancelación entre ellos, por ejemplo, ya el coeficiente principal $\sum d_i$ podría ser cero, por lo que no se garantiza que el polinomio tenga grado $n-1$ .

El argumento puede completarse como sigue. Si el numerador desaparece en $[0, 1]$ entonces debe desaparecer idénticamente; es decir, todos sus coeficientes como polinomio deben ser cero, por lo que desaparece en todas las $\mathbb{R}$ . Ahora puedes conectar cada $c_i$ a su vez que le dirá que $d_i = 0$ . Esto equivale a una versión simple del uso de la continuación analítica para extender $\sum \frac{d_i}{x - c_i}$ a una función meromorfa y luego calcular sus residuos en cada uno de sus polos.

(Además, como dice AlexL en los comentarios, es completamente innecesario plantear esto como una prueba por contradicción. Estás demostrando, directamente, que las funciones son linealmente independientes verificando, directamente, la definición de independencia lineal: que si una combinación lineal de ellas es cero entonces todos los coeficientes deben ser cero).

También son posibles otros argumentos; por ejemplo, se puede examinar la tasa de crecimiento de la serie de Taylor en $x = 0$ o tomar una continuación analítica y luego tomar los límites como $x \to c_i$ .

Como reto, es cierto el siguiente resultado más general: la familia de funciones $\{ 1, \frac{1}{(x - c)^n}, \frac{1}{(x^2 + bx + c)^m}, \frac{x}{(x^2 + bx + c)^m} \}$ es linealmente independiente, donde $\Delta = b^2 - 4c < 0$ y los exponentes son $\ge 1$ . (Este es un caso especial de descripción de una base del campo de funciones racionales). Ahora la forma más limpia de proceder realmente es trabajar con $\mathbb{C}$ aunque esto es puramente una declaración sobre las funciones en $\mathbb{R}$ .

Answer 2

Un conjunto finito de funciones diferenciables es linealmente independiente cuando su Wronskian es distinto de cero.

En este caso el determinante conduce a una matriz de Vandermonde \begin{align}&W(\frac{1}{x-c_1},\ldots,\frac{1}{x-c_n}) \\ &=\det\begin{pmatrix}(x-c_1)^{-1}&\cdots&(x-c_n)^{-1}\\ -(x-c_1)^{-2}&\cdots&-(x-c_n)^{-2}\\ \vdots\\ (-1)^{n-1}(n-1)!(x-c_1)^{-n}&\cdots&(-1)^{n-1}(n-1)!(x-c_n)^{-n}\end{pmatrix} \\ &=\frac{(-1)^a\prod_{k=1}^{n-1}k!}{(x-c_1)^n\cdots(x-c_n)^n}\det \begin{pmatrix} (x-c_1)^{n-1}&\cdots&(x-c_n)^{n-1}\\ \vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix} \\ &=\frac{(-1)^{a'}\prod_{k=1}^{n-1}k!\prod_{i<j}(c_i-c_j)}{\prod_i(x-c_i)^n} |align}

La fracción es cero si $c_i=c_j$ para algunos $i\ne j$ .