Funciones asintóticas con derivadas que son $1/2^x$

Question

Debería preceder esto con una advertencia: Soy un programador, no un matemático, y tengo una formación en artes liberales. Sé lo suficiente como para estar confundido. Sé amable.

Estoy buscando una clase de funciones para modelar un proceso que comienza en 0 ( $f(0) = 0$ ), y cuyo crecimiento decae en proporción a $\frac{1}{2^x}$ mientras se acerca asintóticamente a un valor determinado.

Mi primera puñalada fue $c-\frac{c}{2^{1-x}}$ . Esto cumple con el requisito básico por lo que puedo decir, pero tengo una restricción adicional que añadir. Quiero $f'(0) = c$ .

Me di cuenta de que esto sería cierto si la derivada de la función fuera $\frac{c}{2^x}$ . Cuando integré eso usando una calculadora integral en línea, obtuve: $$\frac{c}{ln(2)2^x}+C$$ Eso me dio la derivada correcta a 0, pero ahora se acerca a cero desde $-1.442696c$ . Aquí es donde me he atascado. He intentado añadir varios factores de corrección, tanto a la función como a su derivada, pero parece que no puedo encontrar algo que cumpla el requisito de empezar en 0 y acercarse a c asintóticamente, y que tenga una derivada $f'()$ tal que $f'(0) = c$ .

¿Es esto imposible? ¿Me estoy perdiendo algo muy obvio? Perdonen si he hecho mal las matemáticas, estoy luchando al límite de mi comprensión :-(

EDIT: Para tratar de aclarar más, aquí hay algunos detalles más concretos. Se trata de modelar la carga de un banco de baterías. Al comienzo de la etapa de carga correspondiente, la corriente que entra es (digamos) de 50 amperios (esta es mi derivada). El banco de baterías necesita 100 amperios hora para cargarse por completo, pero la velocidad a la que aceptará se reduce en proporción a su nivel de carga. Cuando el banco de baterías está cargado al 50% (50 amperios hora), sólo aceptará la mitad de la corriente original (25 amperios). A medida que pasa el tiempo, se acercará cada vez más a un estado de carga teórico del 100% y la velocidad a la que acepta la corriente tenderá a cero. La corriente de arranque tiene una relación fija con el tamaño del banco de baterías. Por el bien de la discusión hasta ahora he dicho que los dos son iguales, pero en realidad la corriente de arranque en amperios es generalmente 0,5 veces el tamaño del banco en amperios hora. Estoy buscando una función que me dé un estado de carga en amperios hora si le doy un tiempo en horas.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, $c=1$ .

Lo que quieres conseguir no es posible con una función de la forma

$$f(x)=a-b\,2^{-x}$$ porque está estableciendo tres condiciones para sólo dos parámetros:

$$f(0)=0\to a=b,\\f(\infty)=1\to a=1,\\f'(0)=1\to b\log 2=1.$$

Hay varias posibilidades de arreglar esto, añadiendo términos como $x2^{-x}$ o $2^{-2x}$ ... pero hay que dar criterios adicionales.

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De la nueva descripción del problema, parece que la corriente es proporcional a la capacidad restante, dando la ecuación diferencial

$$\frac{dU}{dt}=C-U,$$ que tiene la solución

$$U=C(1-e^{-t}).$$

Esto da lugar a $U(0)=0,U'(0)=C$ y $U(\infty)=C$ pero la decadencia no es una potencia de $2$ sino un poder de $e$ .