Distancia entre 2 líneas de inclinación (¿Resultado extraño?)

Question

Tengo 2 líneas de desviación

$L_1 :\begin{cases} x = 1 + 2t\\ y = 2-2t\\ z = 3+4t\end{cases}$

$L_2 :\begin{cases} x = 2+2t\\ y = 1\\ z = t\end{cases}$

Tomemos 2 puntos en línea 1 $(A,B)$ al establecer $t$ a $0$ y $1$

Y 1 punto de línea 2 $(P)$ al establecer $t$ a $0$

Mi pregunta es la siguiente:

por qué esta fórmula

$$\frac{|| AB \times AP || }{ ||AB||}$$

(La fórmula para encontrar la distancia entre un punto y una línea que pasa por 2 puntos)

¿dando el mismo resultado que esta fórmula?

$$\frac{|a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ (La fórmula de la distancia entre un punto y un plano)

para las líneas de inclinación dadas?

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Información adicional para los que no entienden:

. $a$ , $b$ y $c$ son las componentes de un vector normal al plano formado por los vectores paralelos de $L_1$ y $L_2$ (es decir. $<2,-2,4> \times <2,0,1>$ )

$d$ = - $ax_1$ - $by_1$ - $cz_1$ (sólo para los que no lo sepan y se pregunten cómo se hace la última fórmula el $d$ se deriva del ecuación vectorial del plano . $$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

El ecuación escalar del plano es $$d=ax_0+bx_0+cx_0$$

$x_0$ $y_0$ $z_0$ es sólo el punto de la línea 2 $(P)$ (que obtenemos al poner $t$ a $0$ )

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¿por qué esas dos fórmulas dan el mismo resultado?

Answer 1

Dos rectas oblicuas se encuentran en un único par de planos paralelos, cuyos vectores normales -como has dicho- es el producto cruzado de los vectores de dirección de las rectas. La distancia entre las líneas en la distancia entre esos planos paralelos. Y eso lo puedes encontrar tomando la distancia desde cualquier punto de un plano al otro plano. Así que has tomado la distancia desde cualquier punto de la línea 1 al punto del plano que pasa por la línea 2.