Consideremos un número natural compuesto $n$ mayor o igual que $4$ . La conjetura de Goldbach equivale a la siguiente afirmación "hay al menos un número natural $r$ como $(n-r)$ y $(n+r)$ son ambos primos". Por razones obvias $r\leq n-3$ . Tal número $r$ se llamará "radio de primalidad" de $n$ .
Ahora vamos a definir el número $ord_{C}(n)$ que depende de $n$ de la siguiente manera: $ord_C(n):=\pi(\sqrt{2n-3})$ , donde $\pi(x)$ es el número de primos menores o iguales a $x$ . $(n+r)$ es un primo sólo si para todo primo $p$ menor o igual a $\sqrt{2n-3}$ , $p$ no divide $(n+r)$ . Hay exactamente $ord_{C}(n)$ tales primos. El número $ord_{C}(n)$ se llamará "orden de configuración natural" de $n$ . Ahora vamos a definir el " $k$ -configuración de orden" de un número entero $m$ , denotado como $C_{k}(n)$ como la secuencia $(m \ \ mod \ \ 2, \ \ m \ \ mod \ \ 3,...,m \ \ mod \ \ p_{k})$ . Por ejemplo $C_{4}(10)=(10\ \ mod \ \ 2,\ \ 10 \ \ mod \ \ 3, \ \ 10 \ \ mod \ \ 5, \ \ 10 \ \ mod \ \ 7)=(0,1,0,3)$ . Yo llamo $C_{ord_{C}(n)}(n)$ la "configuración natural" de $n$ .
Una condición suficiente para que $r$ sea un radio de primalidad de $n$ es que para todos los enteros $i$ tal que $1\leq i\leq ord_{C}(n)$ , $(n-r) \ \ mod \ \ p_{i}$ difiere de $0$ y $(n+r) \ \ mod \ \ p_{i}$ difiere de $0$ . Si esta afirmación es cierta, $r$ se llamará "radio de primalidad típico potencial" de $n$ . Además, si $r\leq n-3$ entonces $r$ se llamará "radio de primalidad típico" de $n$ .
Ahora definamos $N_{1}(n)$ como el número de radios de primalidad típicos potenciales de $n$ menos de $P_{ord_{C}(n)}$ , donde $P_{ord_{C}(n)}=2\times 3\times...\times p_{ord_{C}(n)}$ , $N_{2}(n)$ como el número de radios de primalidad típicos de $n$ y $\alpha_{n}$ por la siguiente igualdad:
$N_{2}(n)=\dfrac{n.N_{1}(n)}{P_{ord_{C}(n)}}\left(1+\dfrac{\alpha_{n}}{n}\right)$
Es bastante fácil dar una expresión exacta de $N_{1}(n)$ y para demostrarlo:
$\dfrac{n.N_{1}(n)}{P_{ord_{C}(n)}}>\left(c.\dfrac{n}{\log(n)^{2}}\right)\left(1+o(1)\right)$ , donde $c$ es una constante positiva.
Una heurística estadística me hace pensar que $\forall \varepsilon>0, \ \ \alpha_{n}=O_{\varepsilon}\left(n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)$ .
Me gustaría saber si esto es equivalente a la Hipótesis de Riemann o no. Si es así, significaría que la HR implica que todo número par suficientemente grande es la suma de dos primos.
Gracias de antemano por sus comentarios.
EDITAR 13 de octubre de 2013: Para responder a la pregunta de Gerry Myerson, la heurística estadística a la que me refiero es $\vert pf\vert\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ con $p$ la "probabilidad" de un número entero menor que $P_{ord_{C}(n)}$ para ser un radio de primalidad típico potencial de $n$ Por lo tanto $p=\dfrac{N_{1}(n)}{P_{ord_{C}(n)}}$ y $f$ la "frecuencia" del evento "siendo un radio de primacía típico de $n$ ", por lo tanto $f=\dfrac{N_{2}(n)}{n}$ . Esto da $\alpha_{n}=O(\sqrt{n}\log^{2}n)$ que es, hasta la constante implícita, el término de error en la fórmula explícita de $\psi(n)$ bajo RH.
Editar el 6 de agosto de 2014: que denota $r_{0}(n)$ el radio de primacía potencial más pequeño de $n$ ¿existe una forma bastante rigurosa de averiguar cuál es la probabilidad del evento $r_{0}(n)=1$ ¿debería ser?
Editar el 7 de enero de 2015: parece que la equivalencia considerada podría obtenerse de la conjunción de los enunciados $r_{0}(n)\leq\left(\dfrac{P_{ord_c(n)}}{N_1(n)}\right)^{2}\ll \log^4 n$ y $\alpha_{n}\ll\sqrt{nr_{0}(n)}$ .
No he conseguido probar esto último, pero cualquier ayuda sería muy apreciada.
Editar el 8 de abril de 2015: parece que el límite superior $\alpha_{n}=O_{\varepsilon}(n^{1/2+\varepsilon})$ se desprende de la siguiente suposición razonable: $N_{2}(n)$ es el número entero más cercano a $N_{1}(n)\dfrac{n-\sqrt{2n-3}}{P_{ord_{C}}(n)-\sqrt{2n-3}}$ , lo que se deduce de la propia definición de lo que es un radio de primalidad típico. En efecto, escribiendo $N_{2}(n)=\dfrac{n.N_{1}(n)}{P_{ord_{C}}(n)}=N_{1}(n)\dfrac{n-\sqrt{2n-3}}{P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3}}+O(1)$ se obtiene $\dfrac{n.N_{1}(n)}{P_{ord_{C}(n)}}(1+\dfrac{\alpha_{n}}{n})=N_{1}(n)\dfrac{n-\sqrt{2n-3}}{P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3}}+O(1)$ Por lo tanto $1+\dfrac{\alpha_{n}}{n}=\dfrac{P_{ord_{C}(n)}}{n}\left(\dfrac{n-\sqrt{2n-3}}{P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3}}\right)+O(\dfrac{P_{ord_{C}(n)}}{n.N_{1}(n)})$ es decir $\dfrac{\alpha_{n}}{n}=\dfrac{P_{ord_{C}(n)}}{n}\dfrac{n-\sqrt{2n-3}}{P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3}}-\dfrac{n(P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3})}{n(P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3})}+O(\dfrac{\log^{2} n}{n})$ .
Así, $\alpha_{n}=\dfrac{(n-P_{ord_{C}(n)})\sqrt{2n-3}}{P_{ord_{C}(n)}-\sqrt{2n-3}}+O(\log^{2} n)$ así que $\alpha_{n}=(\sqrt{2n})^{1+\varepsilon}+O(\log^{2}n)=O_{\varepsilon}(n^{1/2+\varepsilon})$ .
Édit 5 de junio de 2015: resulta que la suposición anterior es falsa. No obstante, me gustaría saber si una generalización adecuada del teorema central del límite podría servir para demostrar que, si $\alpha_{n}=o(n)$ entonces $\alpha_{n}=O(\sqrt{n}\log^{2} n)$ . En efecto, escribir $N_{2}(n)=\sum_{i=1}^{n}X_{i}(n)$ con $X_{i}(n)\in\{0,1\}$ para todos $i$ se debería poder definir una varianza $\sigma^{2}$ como $\dfrac{1}{n}(N_{2}(n)-\dfrac{n.N_{1}(n)}{P_{ord_{c}(n)}})^{2}$ que debería tender a $1$ pour $n$ suficientemente grande, lo que implica el límite superior deseado. Cualquier idea, idea o referencia es bienvenida.
Editar el 5 de marzo de 2016: Escribir como en el caso anterior $N_{2}(n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}X_{i}(n)}$ con $X_{i}(n)\in\{0,1\}$ entre todas las realizaciones posibles de la distribución binomial de los parámetros, existe $n$ y $p=\dfrac{N_{1}(n)}{P_{ord_{C}(n)}}$ , exactamente una que coincide con la secuencia $(u_{i})_{i\le n}$ de plazo general plazo $1_{i\ \ is\ \ a \ \ typical\ \ primality \ \ radius \ \ of \ \ n}$ . Definir la cantidad $\varepsilon_{i}$ como $\vert X_{i}-\frac{N_{2}(n)}{n}\vert$ entonces la norma $\| x\|_{1}$ del vector $x$ cuyo $i$ -el componente número uno es $u_{i}$ est $\displaystyle{\\ x\|_{1}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}}$ , mientras que $\displaystyle{\| x\|_{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}^{2}\right)^{1/2}}$ . Desde $\alpha_{n}=\dfrac{P_{ord_{C}(n)}}{N_{1}(n)}\left(N_{2}(n)-\dfrac{n.N_{1}(n)}{P_{ord_{C}(n)}}\right)$ se deduce que $|\alpha_{n}|\le \dfrac{P_{ord_{C}(n)}}{N_{1}(n)}\| x\|_{1}\le\sqrt{n}\log^{2}n\| x\|_{2}$ .
Lo único que queda por hacer es demostrar que $\| x\|_{2}=O(1)$ .
Editar el 22 de enero de 2019: parece que la suposición más fuerte $ \vert p-f\vert\lesssim\frac{p}{\sqrt{n}} $ se mantiene numéricamente, al menos para valores pequeños de $ n $ . Una prueba de ello implicaría que $ \alpha_{n}\lesssim\sqrt{n} $ que puede ser más fuerte que RH.
En realidad, escribir $ \dfrac{\alpha_{n}}{n}=\dfrac{1}{R_{n}} $ se obtiene $ R_{n}=\dfrac{n.N_{1}(n)}{N_{2}.P_{ord_{C}(n)}-n.N_{1}(n)} $ .
Sustitución en este último $N_{2}(n) $ por la aproximación de la misma derivada de la conjetura de la k-tupla de Hardy-Littlewood tiempos $ \frac{n-p_{ord_{c}(n)}}{n} $ para eliminar los radios de primalidad no típicos debería proporcionar (condicionalmente) el resultado deseado.
Editar 14 de mayo de 2019 : ¿se puede utilizar el Teorema 1 en https://arxiv.org/abs/1809.01409 para establecer rigurosamente que $\dfrac{\alpha_{n}}{n}=o(1)$ ? Como la secuencia de primos se acerca arbitrariamente a progresiones aritméticas largas arbitrarias, se puede esperar que lo mismo ocurra con la secuencia de radios de primalidad de un número entero dado $n$ . La idea es que la secuencia considerada se comporta "casi" como una progresión aritmética de tamaño de hueco $\Delta:=\dfrac{P_{ord_{C}(n)}}{N_{1}(n)}$ y que, si fuera realmente una progresión aritmética, la cantidad $\alpha_{n}$ se desvanecería.
Editar el 10 de junio de 2019: de $p=n-r$ y $q=n+r$ se deduce que un primo $l$ dividiendo $2r$ es tal que $p\equiv q\pmod l$ . Pero como $p$ y $q$ son primos, ambos son coprimos con cualquier primo que divida a $P_{ord_{C}(n)}$ y por lo tanto si $l\mid 2r$ entonces $l\mid P_{ord_{C}(n)}$ . Por supuesto, el $l$ -Valoración de la $r_{0}(n)$ puede ser mayor que 1, pero esta propiedad de ser divisible sólo por primos en un conjunto finito prescrito me hace pensar que, tal vez, $r_{0}(n)$ puede interpretarse como el conductor de algún objeto aritmético "profundo" asociado a $n$ como una función L o una curva elíptica (y por tanto, a través del teorema de la modularidad, al nivel de algún subgrupo aritmético del grupo modular). Esto tiene, por supuesto, un interés en sí mismo, pero también puede utilizarse para proporcionar un límite superior de $r_{0}(n)$ en términos de $n$ .
Editar 12 de junio de 2020: puede esta preimpresión de Maynard: https://arxiv.org/abs/2006.06572 arrojan algo de luz sobre la relación conjeturada $\alpha_{n}=o(n)$ ?
Edición del 20 de marzo de 2021: Empecé a aprender Python 3 y escribí un programa relacionado con esta pregunta que apoya la conjetura principal, a saber, que $\alpha_{n}\ll n^{1/2}\log^{2}n$ .
Aquí vienen dos capturas de pantalla como ejemplo (perdón por usar el francés en ella):
El código dista mucho de ser óptimo ya que no soy muy versado en informática pero puedo compartirlo con quien esté interesado. 
El coeficiente de aritmética de $n$ se define como $1-\frac{\vert\alpha_{n}\vert}{n}$ y mide lo cerca que está la secuencia de radios de primalidad de $n$ es a una progresión aritmética, cuyo coeficiente de aritmeticidad sería $1$ .
