Es el problema 2.2.1 de la Topología Diferencial de Guillemin. No puedo entender la afirmación. ¿Por qué es cierto? ¿Por qué el submanifold no puede ser difeomorfo a un intervalo? Y para la pregunta, ¿se puede deformar el submanifold en un círculo dentro de $\mathbb R^3$ ?
Respuestas
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failexam
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Fijar una métrica riemanniana en la variedad $M$ (está en $\mathbb{R}^3$ para que puedas tomar la métrica inducida. Sin embargo, toda colector admite una métrica riemanniana, por lo que el siguiente argumento es general) y tomar una geodésica $\gamma$ que emana de un punto $p$ . Dado que el colector es compacto, la geodésica está definida para todos los números reales. Por la forma local de las submersiones, $\gamma$ es un mapa abierto. Un argumento de carta local utilizando el hecho de que las cartas están en segmentos muestra que $\gamma$ también es cerrado, por lo que $\gamma$ es suryectiva ya que el colector es conexo. También tenemos que $\gamma$ no es inyectiva. Si lo fuera, al ser un mapa abierto biyectivo, sería un homeomorfismo, lo cual es absurdo.
Ahora, tenemos entonces $t_1<t_2$ tal que $\gamma(t_1)=\gamma(t_2)$ . Sea $\gamma(t_1)$ sea nuestro nuevo punto $q$ y considerar la geodésica $\zeta$ que emana ahora de $q$ con la misma velocidad con la que $\gamma$ pasa a través de $q$ . Dado que sólo es un desplazamiento desde nuestra geodésica de partida $\gamma$ También es continua y sobreyectiva. Sea $T$ sea el menor número positivo tal que $\zeta(T)=\zeta(0)$ . Entonces está claro que $\zeta(a+nT)=\zeta(a)$ para todos $n \in \mathbb{N}$ por la unicidad de las geodésicas. Para ver que también se cumple para $n \in \mathbb{Z}$ , fíjese que $\alpha(t)=\zeta(T-t)$ es una geodésica tal que $\alpha(T)=\alpha(0),$ por lo que $\alpha(2T)=\zeta(-T)=\zeta(0)$ y luego tenemos que $\zeta(a+nT)=\zeta(a)$ también es cierto para los enteros.
De ello se desprende que $\zeta$ induce un mapa $\hat{\zeta}:S^1 \to M$ que es suave. Debe ser sobreyectiva, ya que $\zeta$ era. Es inyectiva porque si no lo fuera, entonces $T$ no habría sido el número más pequeño tal que $\zeta(T)=\zeta(0)$ (podríamos tener $0<s_1<s_2<T$ tal que $\zeta(s_1)=\zeta(s_2)$ y luego "desplazarse" hacia el origen $\zeta(0)=\zeta(s_1-s_1)$ ). De ello se desprende que $\hat{\zeta}$ es un difeomorfismo.
tariqsheikh
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Es cierto porque hay una prueba.
Un intervalo abierto no es compacto, y un intervalo cerrado no es una submúltiple 1-d.
Por último, existen ejemplos que no se pueden deformar a un círculo, como el nudo trébol ; aquí asumo que por "deformado" quieres decir "isotópico".
