Relación entre el mapa inducido y la ecuación $AX = XB$

Question

$\mathcal A : \mathbb C^n \mapsto \mathbb C^n$ y $ \mathcal B : L \mapsto L$ son mapas lineales, $A$ y $B$ son sus matrices
Dejemos que $L \subset \mathbb C^n$ sea $A$ -invariante del subespacio. $\dim(L) = k, L = \langle x_1, \dots , x_k \rangle, X = \left[x_1, \dots x_k\right] \in \mathbb C^{n\times k}$ , $AX = XB$ .
Prueba de que $$\mathcal Ax_j = \mathcal Bx_j \ \ \ \ j = 1, \dots, k$$

$B \in \mathbb C^{k \times k}$ y $A \in \mathbb C^{n \times n}$

En realidad, quiero mostrar, que $\mathcal B$ es la restricción de $\mathcal A$ a $L$ y $B$ es su matriz.

Answer 1

Supongo que el $x_j$ son linealmente independientes y que $B$ es la matriz de $\mathcal B$ en relación con la base $(x_1,\dots,x_k)$ de $L$ .

Si ese es el caso, entonces las columnas $XB$ son iguales a $\mathcal B(x_j) \in \Bbb C^n$ . Del mismo modo, las columnas de $AX$ son iguales a $\mathcal A(x_j)$ . La conclusión es la siguiente.

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En detalle: dejemos $S = (x_1,\dots,x_k)$ . Entonces $$ \mathcal B(x_j) = [x_1 \ \ \cdots\ \ x_k][\mathcal B(x_j)]_{S} = [x_1 \ \ \cdots\ \ x_k][\mathcal B]_S[x_j]_{S} = XB\,e_j, $$ donde $e_j$ denota el $j$ vector de base estándar en $\Bbb C^k$ .