¿Cómo me ayudan exactamente las matemáticas a ser más inteligente (al menos, en el instituto)?

Question

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Me acabo de graduar de la escuela secundaria (no como en, justo ahora Pero este año) y aunque me encantan las Matemáticas, conozco sus aplicaciones prácticas y todo eso, estoy confundido en cuanto a cómo me ayuda exactamente a ser más inteligente.

En mi país, la India, la gente se jacta de lo difícil que es el examen JEE (que es la prueba de acceso a la mayoría de los colegios/universidades de mi país para Ciencias/Ingeniería/Matemáticas, pero no para Medicina/Ciencias Sociales/Artes/Comercio). Una de las principales razones por las que el examen es duro no es sólo el hecho de que aproximadamente 1,2 millones de personas se presentan cada año a la prueba en mi país, sino también porque la prueba abarca temas avanzados en sus asignaturas (Física, Química y Matemáticas).

Ahora bien, lo que me ha molestado no sólo de este examen, sino de los exámenes estandarizados, en general (incluso se puede tomar el ejemplo del nivel 2/1 de matemáticas del SAT), es el hecho de que no evalúan realmente tu capacidad en la materia, sino que evalúan tu fluidez en realizar esa prueba específica . Por ejemplo, mi primo hermano se está preparando para ese examen y averiguó la respuesta a una de las preguntas del examen sustituyendo el valor de todas las opciones dadas en la solución y me sentí indignado por ello. ¿Cómo mejora exactamente su conocimiento de las Matemáticas y lo hace mejor en ellas? Hasta un niño de 10 años puede sustituir, sumar, multiplicar, dividir y/o restar para encontrar la respuesta. ¿Cómo eres mejor que él/ella?

A lo largo de la escuela secundaria, observé que esta observación (si estoy en lo cierto) no es válida sólo para las pruebas estandarizadas, sino incluso para lo que me enseñaron en la escuela. Ningún problema era exactamente difícil. Lo único que diferenciaba un problema fácil de uno difícil era el hecho de que la persona que resolvía el problema no conocía el truco necesario para resolver el problema. Una vez que lo conozcas, podrás repetirlo como una máquina para otros problemas similares que vengan, pero con números/variables diferentes.

Es cierto que, de esta manera, a veces aprendí un poco más de matemáticas y aprendí otra técnica para resolver un problema, pero, ¿es realmente esto lo que se pretende con las matemáticas? ¿Aprender nuevos trucos para resolver problemas? Me entusiasmaría más lo mismo que si se me ocurrieran nuevas técnicas para resolver problemas. Pero la tendencia, al menos en mi país, es conocer algún truco para resolver el problema, repetirlo y mejorarlo para escupirlo todo durante el examen.

TL;DR

En la escuela, las matemáticas han consistido en aplicar ciertas técnicas para resolver problemas. Pero utilizando esto, ¿realmente aprender matemáticas ? ¿Realmente se trata de esto las Matemáticas? ¿Aprender trucos para resolver problemas?

Answer 1

Esta no es en absoluto una respuesta completa, pero quiero tocar algo realmente importante que has dicho.

Lo único que diferenciaba un problema fácil de uno difícil era el hecho de que la persona que resolvía el problema no conocía el truco que requería para resolverlo.

He hecho muchas oposiciones de matemáticas, y también me he presentado al examen IIT/JEE por diversión (desde la comodidad de mi casa y sin ninguna presión de necesitarlo para ir a la universidad).

Y sí, es cierto que muchos problemas se vuelven triviales si se conoce el "truco". En ese sentido, comparo los problemas matemáticos con los acertijos: es dolorosamente obvio a posteriori Pero este tipo de problemas tienen que ver más con el viaje que con el destino.

Hay dos maneras de abordar las matemáticas de la competición o el examen IIT/JEE. Una, puedes memorizar un montón de trucos y esperar que los trucos que aparezcan sean un subconjunto de los trucos que has aprendido. Esto no me parece divertido, pero es absolutamente una manera válida de abordar estos exámenes . La otra forma es entender muy bien los fundamentos e intentar sacar estos trucos durante el examen. A mí se me da mal memorizar, así que esto es lo que hago.

No soy matemático, así que tomen lo siguiente con un grano de sal, pero el quid de la investigación matemática es buscando problemas cuyos trucos aún no se han encontrado. Estas pruebas no pretenden separar a los pensadores críticos de los expertos en memorización. De hecho, yo diría que ninguna prueba razonable puede hacer ese trabajo. Ese es el trabajo de los programas de posgrado, de los asesores de doctorado y, en última instancia, del mundo académico y de la industria.

Depende de cada persona determinar la mejor manera de realizar estas pruebas, pero permítanme hacer una afirmación audaz: No creo que Gauss o Newton o Wiles fueran de los que "memorizan", y no creo que encuentres muchos famosos de los que "memorizan" en ninguna parte.

Por ejemplo, mi primo hermano se está preparando para ese examen y averiguó la respuesta a una de las preguntas del examen sustituyendo el valor de todas las opciones dadas en la solución y me sentí indignado por ello.

Estoy muy en desacuerdo con este sentimiento. Creo que los exámenes de opción múltiple son malos, pero esta es una forma completamente válida de resolver un problema aunque, en su opinión, demuestre una nula comprensión de las matemáticas que hay detrás. Si alguien me diera una función que no supiera diferenciar y me dijera que encontrara su valor mínimo en dos minutos, en lugar de hacerme el listo e intentar encontrar algún truco raro de sustitución, metería esa función en MATLAB , traza sus valores y te dice el mínimo. Me diste un problema y lo resolví con tiempo $^1$ . ¿Y qué? Tal vez se trate de la dicotomía ingeniero versus matemático, pero no creo que la actitud de "asco" sea la forma de abordar este tema.

Para completar esta discusión, recuerde que la educación matemática de bajo nivel no es y puede que nunca sea dirigido a fomentar los matemáticos profesionales . Otras personas utilizan las matemáticas todo el tiempo, y aunque creo que el sistema educativo debería desarrollar el sentido de la curiosidad matemática, esto no debe primar sobre la enseñanza de cosas útiles a la gente. Esto puede ser una afirmación chocante, pero es la verdad a mis ojos.

Para responder a tu pregunta, no, las matemáticas en la universidad no son las mismas que en el instituto. Las matemáticas en el instituto se enseñan a todo el mundo, incluso a los aspirantes a estudiar inglés, que quizá nunca las utilicen. Las matemáticas en la universidad se enseñan a un subgrupo de personas que eligen por sí mismas el curso y que pretenden seguir una carrera relacionada con las matemáticas. Puede que esto se limite a mi universidad, pero los cursos de abstracción que he seguido no eran meras tareas de memorización, sino que requerían una madurez legítima, rigor y pensamiento crítico, y esto es lo que creo que quieres.

$^1$ Sólo para aclarar algo aquí: se trata de condiciones muy específicas cuando pienso que sólo usar MATLAB está bien: es decir, que estamos bajo presión de tiempo y no requiere una respuesta exacta. Si un cohete está a punto de estallar en dos minutos a menos que te diga el mínimo, pero me llevaría más de dos minutos diferenciar la función, ir por ese camino es fundamentalmente erróneo . La advertencia aquí es que debes tener algunos conocimientos básicos: Sé más o menos cómo debería ser la función por su forma, sé que necesito encontrar el valor mínimo, y sé que si MATLAB me da $10^{1000}$ como mi respuesta, algo salió mal.

Answer 2

Estoy confundido sobre cómo exactamente [las matemáticas] me ayudan a ser más inteligente.

Pues bien, la esperanza no es sólo adquirir más conocimientos (incluyendo técnicas o trucos), sino también profundizar en las estructuras lógicas y matemáticas. Como sólo has terminado el bachillerato, no sabrás mucho de ellas. Originalmente, las matemáticas estaban destinadas a ser una herramienta para que descubriéramos hechos (o al menos buenas aproximaciones) sobre nuestro mundo. Hoy en día, las matemáticas aplicadas siguen siéndolo en gran medida. Pero, ¿cómo puede un esfuerzo mental vincularse con el mundo real? A través de la lógica. Si se parte de hechos y en cada paso del razonamiento se realiza sólo sonido deducciones, entonces por supuesto que sólo se pueden deducir hechos y nunca falsedades. Así que la cuestión se reduce a acertar con las reglas deductivas, de modo que se pueda confía en y puede convencer a otros que su deducción es sólida. Lógica de primer orden es un tipo de lenguaje que casi todo el mundo está de acuerdo en que tiene sentido, y hay muchos sistemas deductivos sólidos para él. Eso significa que podemos comprobar sistemáticamente una demostración matemática en lógica de primer orden, y estar 100% seguros de que si los supuestos son verdaderos, la conclusión también lo es (cuando se interpretan como afirmaciones sobre el mundo).

Una experiencia suficiente con la lógica le hará muy fácil identificar (y, con suerte, rectificar) cualquier error lógico en cualquier tipo de trabajo, y esto es especialmente importante cuando se trata de vidas. La falta de rigor se ha cobrado muchas vidas en la historia (un ejemplo es https://en.wikipedia.org/wiki/Therac-25 ). Además, te facilitará mucho la comprensión de las estructuras subyacentes en cualquier problema, lo que, por supuesto, te facilitará su resolución. Los meros algoritmos son de poca utilidad; pero la comprensión completa de por qué los algoritmos deben ser como son para funcionar es muy beneficiosa, por ejemplo, cuando necesitas modificarlos para hacer algo diferente. ¿Ha oído hablar de las "formas canónicas"? La idea de encontrar bonito Las formas canónicas funcionan en muchos lugares (forma normal disyuntiva, forma normal de Skolem, base estándar, bases ortonormales, orden longitudinal-lexicográfico, ...), y esta idea es la motivación real detrás de muchas técnicas.

Lo único que diferenciaba un problema fácil de uno difícil era el hecho de que la persona que resolvía el problema no conocía el truco que requería para resolverlo.

No necesariamente. Algunas personas pueden resolver problemas totalmente desconocidos muy rápidamente. No conocen el truco, pero pueden descubrirlo. Sin embargo, pueden tener meta-trucos, es decir, heurísticas de nivel superior que les ayudan a adivinar la estructura subyacente. Por ejemplo, el principio extremista es un metatratamiento que resulta sorprendente cuando funciona.

Por ejemplo, mi primo hermano se está preparando para ese examen y averiguó la respuesta a una de las preguntas del examen sustituyendo el valor de todas las opciones dadas en la solución y me sentí indignado por ello. ¿Cómo mejora exactamente tus conocimientos de matemáticas y te hace mejor en ellas?

No es así. También detesto las preguntas de opción múltiple en las que puedes probar fácilmente todas las respuestas para ver cuál funciona. Pero no puedes confundir las matemáticas con las que has aprendido o las que tienes que hacer en el examen.

Estoy un poco en desacuerdo con la otra respuesta de que si puedes hacer que un ordenador (Matlab) resuelva un problema deberías hacerlo. Yo añadiría que al menos deberías entender las condiciones precisas en las que el ordenador tendrá éxito. No hay excusa para decir después "Mi respuesta era incorrecta porque había un error en el programa informático". Es típico ver a estudiantes de todo el mundo sacar la calculadora para calcular $13*99$ que cualquier matemático debería ver que se puede calcular fácilmente haciendo uso del hecho de que $99 = 100-1$ . Si uno ve esto pero sigue siendo demasiado perezoso, bien, adelante con la calculadora. Pero no es bueno si uno ni siquiera ve cosas básicas como esta. (Esto entra en la meta-heurística de preferir formas dispersas, lo que normalmente significa muchos ceros).

En la escuela, las matemáticas han consistido en aplicar ciertas técnicas para resolver problemas. Pero con esto, ¿realmente aprendemos Matemáticas? ¿Realmente se trata de esto las Matemáticas? ¿Aprender trucos para resolver problemas?

Esta es la situación habitual en la escuela secundaria y en niveles inferiores. La cosa cambia un poco en el nivel universitario, pero si te gustan las matemáticas por su propia belleza, no deberías ceñirte al plan de estudios. En su lugar, intenta explorar por tu cuenta, pero al principio guiado. Una sugerencia sería trabajar con el libro de texto de Cálculo de Spivak, intentando cada vez demostrar el lema o teorema por tu cuenta antes de mirar la demostración dada. (Ver https://math.stackexchange.com/a/803595/21820 .) Por el camino, cada vez que tengas alguna pregunta (sobre todo por curiosidad), como "Hay tantos cuantificadores en la definición de continuidad; ¿qué pasa cuando los intercambio? ¿Sólo el original capta el significado deseado? ...", ¡intenta responder a tu propia pregunta! (Pregunta en Math SE si después de intentarlo durante algún tiempo crees que está fuera de tu alcance).

Answer 3

Se trata de una pregunta interesante, planteada de forma reflexiva. Me gusta mucho la respuesta de @SSS y la he votado.

Tienes razón en que las matemáticas son mucho más que poder pasar los exámenes que se hacen en la escuela. Una forma de aprender lo que son las matemáticas en la vida después de la escuela es aprender más, pero no sólo lo que hay en el próximo curso

Si eres lo suficientemente curioso y decidido, podrías disfrutar de dos libros que me convirtieron en un futuro matemático cuando los descubrí en el instituto. Uno es el de Hugo Steinhaus Instantáneas matemáticas . Está disponible en Dover a un precio muy razonable ( http://store.doverpublications.com/0486409147.html ), también en Amazon, donde se pueden leer algunas partes. El segundo es el de Polya Inducción y analogía en matemáticas . Puede leerlo gratis en https://archive.org/stream/Induction_And_Analogy_In_Mathematics_1_#page/n0/mode/2up . Si te gusta puedes comprar un ejemplar y leerlo el resto de tu vida.