Demostrar que un cambio proyectivo de coordenadas es un isomorfismo

Question

Definimos un cambio de coordenadas proyectivo como un mapa $\phi:P^n \to P^n$ dado por $x \mapsto Ax$ donde $A \in GL(n+1,k)$ . Cómo demuestras que se trata de un isomorfismo, donde por isomorfismo me refiero a la definición de la página 16 del libro de Hartshorne "Algebraic Geometry", es decir, un morfismo entre dos variedades que admite un morfismo inverso.

Answer 1

Esa definición dice que debe haber un morfismo $\psi:\mathbb P^n\to\mathbb P^n$ de manera que las dos composiciones $\phi\circ\psi$ y $\psi\circ\phi$ dar las identidades. El candidato es, por supuesto $\psi:x\mapsto A^{-1}x$ , lo que verifica la definición de isomorfismo.

Así que sólo tienes que comprobar que $\phi:x\mapsto Ax$ es un morfismo. Nótese que $\phi$ est lineal ...