Longitud de los lados de los cuadrados

Question

Considere la siguiente figura en la que $ORQP$ y $RSTQ$ son cuadrados de la misma longitud de lado. $O,R,T$ se encuentra en el círculo con centro $B$ El radio del círculo es $5$ unidades. Encuentra la longitud de los lados de los cuadrados.

Mi intento:

Que el lado de los cuadrados sea $a$ .

Dejemos que $W$ sea el punto medio de $RT$ . Entonces sabemos que $BW$ est $\perp$ a $RT$ . También $PR$ est $\perp$ a $RT$ . Ahora asumo que $RW \parallel PB$ .

Así que tenemos $WB=PR=a\sqrt{2}$

Por el teorema de Pitágoras en $\Delta BRW$ obtenemos $$25=(a\sqrt{2})^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$$

Lo que da $a^2=10$ y por lo tanto $a=\sqrt{10}$ .

Pero geométricamente cómo demostrar que $RW \parallel PB$ ?

Answer 1

Toma el cuadrante formado por $\angle ABU$ .

En primer lugar, $QR = QT$ y $\angle RQT = 90^0$ por lo que debe estar en la bisectriz perpendicular de $RT$ que es $BW$ .

Eso nos da $\angle TQW = \angle BQP = \angle BPQ = 45^0$ . También tenemos $\angle RPQ = 45^0$ .

Así que $\angle RPB = 90^0$ y $PR \parallel BW$ .

Véase también el $9$ cuadrados a los que Calvin Lin se refirió en los comentarios.

Eso lleva al lado del cuadrado $s$ dado por,

$(3s)^2 + s^2 = d^2 \implies s = \frac{d}{\sqrt{10}}$

donde $d$ es el diámetro del círculo.