Son arbitrarios $\eta$ -¿los cocientes de formas modulares de peso medio integral débilmente holomórficas?

Question

Dejemos que $\eta(z) = q^{1/24} \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)$ sea la Dedekind habitual $\eta$ -función, $q = e^{2\pi i z}$ y dejemos que un $\eta$ -cuente ser $$f(q) = \prod_{\delta \in \mathbb{N}} \eta(\delta z)^{r_\delta}$$ con $r_\delta \in \mathbb{Z}$ todas las entradas de la secuencia, excepto algunas finitas $(r_\delta)$ siendo cero.

Un teorema estándar de Gordon, Hughes y Newman da condiciones sobre $(r_\delta)$ bajo el cual $f(q)$ es una forma modular débilmente holomorfa de peso $k$ , nivel $N$ y el carácter $\chi$ incluyendo la entrega de $k$ , $N$ y $\chi$ .

Después de años de lucha (no sé por qué el tema me parece tan impenetrable) creo que puedo afirmar cierta facilidad para utilizar este teorema, junto con el teorema de Ligozat (para acotar el orden en las cúspides), el hecho estándar de que $M_k \cdot M_\ell = M_{k+\ell}$ para las formas modulares débilmente holomorfas de peso integral (para deshacerse de las cúspides mediante las multiplicaciones apropiadas), y los límites de Sturm sobre las formas holomorfas resultantes (para las congruencias) para hacer el trabajo combinatorio habitual que necesito con ellas.

Sin embargo, en la actualidad, me encuentro mirando algunas $\eta$ -coeficientes que creo que son medio peso integral, que son, por supuesto, un hervidero de peces totalmente diferente y mucho más enojado. Tengo las siguientes preguntas fundamentales:

1.) ¿Es cierto que, para un $(r_\delta)$ , $f(q)$ es una forma modular débilmente holomorfa de peso semi-integral? He oído esto en entornos no rigurosos pero no estoy seguro de ello.

2.) Si no es así, ¿existe un peso medio integral equivalente al teorema de Gordon, Hughes y Newman que me diga las condiciones en las que lo es?

3.) Una vez que lo sea, ¿me dirá ese teorema, u otro, en qué espacio $M_{k+1/2}(\Gamma_0(N),\chi)$ Podría encontrar $f(q)$ ?

No parece que estén en los libros de texto habituales sobre formas modulares que tengo a mano para consultar. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $$f(z) = \prod_{j=1}^{2k} \eta(a_j z), a_j \in \Bbb{Z}_{\ge 1}$$

$\eta(z)^2 \in M_1(\Gamma_1(24))$ así $\eta(a_j z)^2 $ es el peso $1$ modular para $\Gamma_1(a_j 24)$

para que $g(z)=f(z)^2$ es el peso $2k$ modular para $\Gamma_1(N),N=24\prod_{j=1}^{2k} a_j$ es decir. $(cz+d)^{-2k}g(\gamma(z))=g|_{2k}\gamma(z) = g(z)$ para que

$(cz+d)^{-k} f(\gamma(z))=f|_k\gamma(z) = \psi(\gamma) f(z)$ con $\psi(\gamma)= \pm 1$

Entonces $\psi(\beta \gamma) f(z)=f|_k\beta\gamma(z) =(f|_k\gamma)|_k\beta(z)= \psi(\beta)\psi(\gamma) f(z)$

así $\psi$ es un personaje $\Gamma_1(N) \to \pm 1$ ,

$\Gamma=\ker(\psi)$ es de índice $1$ o $2$ ,

el punto principal es mostrar $\Gamma$ es un subgrupo de congruencia (no se sabe cómo, de $[\Gamma_1(N):\Gamma]=2,\Gamma \supset [\Gamma_1(N),\Gamma_1(N)]$ y el doble cubierta metapléctica procedente de $\eta$ o directamente del peso $2$ Expresión de la serie de Eisenstein para $\log f$ )

una vez hecho esto $\Gamma$ contiene $\alpha \Gamma_1(M)\alpha^{-1}$ para algunos $\alpha \in SL_2(\Bbb{Z}),M$

y $f$ es el peso $k$ modular para $\Gamma$ analítica (sin ceros) en el semiplano superior y con polos en las cúspides.

Existe una fórmula para el orden de los polos en las cúspides, pero implica complicadas sumas multiplicativas.

A partir de ahí está claro en qué espacio se encuentra el peso $k+1/2$ versiones $f(z)\eta(a_{2k+1}z)$ y los cocientes de dichos productos eta.