Curvas que no son cubiertas de P^1 con cuatro puntos de ramificación

Question

La siguiente pregunta interesante surgió en una discusión que tuve con Alex Wright.

Supongamos que dada una cobertura ramificada C -> P^1 con cuatro puntos de ramificación. No es difícil ver que el campo de definición de C tiene grado de trascendencia a lo sumo 1 sobre $\mathbf{\bar{Q}}$ .

Lo que nos lleva a preguntarnos:

Dé un ejemplo de un campo K de grado de trascendencia 1 sobre $\mathbf{\bar{Q}}$ y una curva geométricamente conectada C/K, tal que C no admiten una cobertura ramificada a P^1 con cuatro puntos de ramificación.

Actualización : Ben Weiland sugiere que tomando C como la curva universal sobre el campo de funciones de una curva compacta en $M_g$ podría dar ese ejemplo. De hecho, uno podría pedir límites inferiores en el número de fibras singulares (o, pensando en una curva en $\bar{M}_g$ en la intersección con varios componentes de la frontera).

Actualizar : Tanto Ben como Jason presentan ejemplos de familias compactas de cubiertas de 4 ramas. Así que creo que la pregunta sigue abierta tal y como está escrita. Basándome en la discusión de las respuestas y los comentarios, creo que un candidato prometedor sería una curva compacta de Shimura que parametriza curvas de género 2 cuyos jacobianos tienen multiplicación por un álgebra de cuaterniones indefinida. ¿Puede ser ésta una componente de una curva de Hurwitz en M_2? (Advertencia: como señala Dan Peterson, éstas no son realmente compactas en M_2, sólo en A_2).

Algunas observaciones:

$\bullet$ Si se sustituye "cuatro puntos de ramificación" por "tres puntos de ramificación" y "grado de trascendencia 1" por "grado de trascendencia 0", la inexistencia de tal ejemplo es el teorema de Belyi.

$\bullet$ No hay ningún obstáculo derivado de la elección de K; un teorema de Díaz, Donagi y Harbater garantiza que para cualquier campo K de grado de trascendencia 1 sobre $\mathbf{\bar{Q}}$ existe una curva geométricamente conectada C/K que admite una cobertura de 4 ramas a P^1.

$\bullet$ Hay una cuestión algo sutil que no se plantea en el caso de Belyi: una cobertura de 4 ramas C/K->P^1/K da lugar a un mapa de Spec K a $\mathcal{M}_{{0,4}}$

("olvida la tapa, recuerda los puntos de ramificación") que, tras el paso al punto genérico te da la opción de incluir el campo de la función $\mathbf{\bar{Q}}(\mathcal{M}_{0,4})$ en K.

Se puede considerar K como un campo abstracto, o como una extensión fija del campo de funciones racionales $\mathbf{\bar{Q}}(\mathcal{M}_{0,4})$ Por ejemplo, si se pide que esta inclusión sea un isomorfismo, se requiere que C sea una cubierta de 4 ramas que esté "determinada únicamente por sus puntos de ramificación", como y^2 = x(x-1)(x-t).

Answer 1

Editar : esto no funciona.

Original : Creo que una curva compacta en $M_g$ proporciona un ejemplo. En esta familia, la longitud de la geodésica más corta está acotada. En cambio, en una familia producida por la ramificación sobre cuatro puntos en $P^1$ Cuando dos puntos de ramificación chocan, hay un bucle cuya imagen abajo se mantiene cerca de ese par de puntos, haciendo un bucle alrededor de ellos varias veces, y por lo tanto tiene una longitud arbitrariamente pequeña. Probablemente exista una variante de este argumento con los grupos de Mumford-Tate.

Añadido :

Los objetos Jason que ramifican puntos abajo pueden colisionar sin que los puntos de ramificación arriba colisionen. Esto es cierto, pero es fácil de parchear. Hay cuatro puntos de ramificación y algunos pares de ellos pueden colisionar sin que los puntos de ramificación colisionen, pero si todos los pares colisionan sin que los puntos de ramificación colisionen, entonces deben permutar diferentes conjuntos de hojas y la curva no está conectada (geométricamente).

Jordan objeta que aunque los puntos de ramificación colisionen, la curva puede seguir siendo suave. En particular, si la curva es una $d$ -Carátula plegable de $P^1$ y toda la monodromía es una potencia de un fijo $d$ -si dos puntos etiquetados por $a$ y $b$ para que los tres $a$ , $b$ y $a+b$ son relativamente primos a $d$ entonces la familia es suave. Si esto es cierto para todos los pares de colisiones, se obtiene una familia completa de curvas que mapean a $P^1$ con sólo cuatro puntos de ramificación, contradiciendo mi afirmación. En particular, $d=5$ y $1,1,1,2$ es una familia completa de género $4$ curvas.

Estos ejemplos no existen para las pequeñas $d$ . Así, una curva completa en $M_3$ (que existen, ¿verdad?) es un buen candidato para no tener un mapa para $P^1$ con $4$ puntos de ramificación. Las colisiones de los puntos de bifurcación con otras formas de monodromía me resultan más difíciles de entender, pero parece más probable que den lugar a una degeneración.

Answer 2

Querida Jordania,

Si la curva admite un mapa de 4 a 1 a $\mathbb{P}^1$ , entonces tiene un punto racional después de una extensión soluble. Para $g$ grande, hay muchos géneros conocidos $g$ curvas que no tienen puntos solubles.

MR2057289 (2005f:14044) Pál, Ambrus(3-MTRL-R) Puntos resolubles en curvas algebraicas proyectivas. (Resumen en inglés) Canad. J. Math. 56 (2004), no. 3, 612-637. 14G05 (11G20 14H25)

Editado: ¡He leído mal la pregunta! Por supuesto que Jordan no está preguntando sobre mapas de 4 a 1, está preguntando sobre cubiertas ramificadas sobre 4 puntos. Perdón por la confusión.

Answer 3

Rompiendo el protocolo y respondiendo a mi propia pregunta: esto se basa en la respuesta de Ben Wieland y también debe mucho a lo que Dawei Chen me explicó por correo electrónico.

La pregunta: ¿es posible que una familia de cubiertas de 4 ramas de P^1 no tenga fibras singulares? Si no es así, entonces, como señaló Ben, cualquier familia de este tipo da un ejemplo del tipo que pedí.

En primer lugar, observemos que, efectivamente, los puntos de bifurcación pueden juntarse mientras la cubierta permanece lisa, y seamos un poco más precisos sobre cuándo ocurre esto. Se puede describir la cubierta de género g grado-d dando cuatro elementos (g_1, g_2, g_3, g_4) de S_d que generan un subgrupo transitivo y que sastisfacen g_1 g_2 g_3 g_4 = 1.

¿Qué ocurre cuando se juntan dos puntos de ramificación? Pensaré en esto como si se tratara de un bucle que separa las puntas 1 y 2 de las puntas 3 y 4. Entonces la base se convierte en la unión de dos P^1, que se encuentran en un nodo. Nuestra cubierta ramificada se especializa ahora en la unión de una cubierta de 3 ramas de cada P^1, siendo la monodromía

g_1, g_2, (g_1 g_2)^{-1}

(g_3 g_4)^{-1}, g_3, g_4

respectivamente.

¿Cuándo la cubierta es lisa? Cuando una de estas coberturas de 3 ramas tiene género g, lo que obliga a la otra a ser una unión de colas racionales. Para cada g_i se escribe ind(g_i) por d menos el número de órbitas de g_i (de modo que, por ejemplo, ind(g_i) = 1 precisamente cuando g_i es una transposición). Entonces la condición de suavidad es precisamente que

(S) "ind(g_1 g_2) = ind(g_3 g_4) debe ser igual a ind(g_1) + ind(g_2) o a ind(g_3) + ind(g_4)".

Ahora bien, esto puede ocurrir claramente, como en los ejemplos ya comentados. Pero, ¿puede ocurrir para cada ¿es necesario para que la familia pierda el límite por completo? Esto equivale a preguntar que (S) es verdadera después de golpear (g_1, g_2, g_3, g_4) con un elemento arbitrario del grupo de la trenza. Eso parece poco probable.

Una cosa que se podría hacer es dejar que c_i sea la clase de conjugación de g_i y considerar el espacio de Hurwitz que parametriza las cubiertas de cuatro ramas de P^1 con el tipo de monodromía c_1, c_2, c_3, c_4. Para demostrar que este espacio cumple el límite, sólo hay que demostrar que existe una elección de g_1, g_2, g_3, g_4 en esas cuatro clases de conjugación (o cualquier permutación) que hace que (S) sea falsa. Supongo que se podría demostrar mediante la teoría de caracteres o algo así que dicha elección siempre existe.

Pero la familia que contemplamos es una componente conectado del espacio de Hurwitz. Y el aspecto de las componentes conectadas (equivalentemente -- el aspecto de las órbitas del grupo de trenzas en el conjunto de 4 tuplas extraídas de (c_1,c_2,c_3,c_40) es en realidad increíblemente difícil de conseguir. Desde este punto de vista, parece fácil demostrar que el espacio de Hurwitz llega a la frontera, pero es difícil demostrar que no tiene alguna componente loca que no llega a la frontera.

Answer 4

Sin pretender entender el argumento de Ben Wieland, permítanme tomar la sugerencia de la curva de Shimura y correr con ella. En particular, modulando algunos detalles, creo que lo siguiente debería ser cierto:

La curva de Shimura $X^{218}$ define una curva completa en $M_2$

Mi primera reacción al ver la sugerencia de la curva Shimura de Jordan fue "De ninguna manera". La razón es que a priori las curvas Shimura $X^D$ no parametrizan curvas de género 2, sino superficies abelianas que admiten la acción de un orden máximo en el único $\mathbf{Q}$ -Álgebra de cuaterniones de discriminante $D$ (y la elección fija de una polarización compatible con la acción de la elección del orden máximo). De hecho, infinitas de estas superficies abelianas son productos de curvas elípticas con multiplicación compleja, y éstas, por supuesto, no tienen que ser necesariamente jacobianas.

Afortunadamente tenemos a nuestra disposición el trabajo de Hayashida y Nishi que hizo la pregunta: ¿Para qué pares de curvas elípticas isógenas $E,E'$ ¿hay una curva de género 2 dentro de $E\times E'$ ?

En particular, muestran lo siguiente:

Si $E$ no tiene CM, $E\times E$ no es un jacobiano

Si $E,E'$ tienen CM por un orden máximo en $\mathbf{Q}(\sqrt{-m})$ entonces $E\times E'$ contiene una curva de género 2 si y sólo si $m \ne 1,3,7,15$

reduciendo la pregunta anterior a una sobre una determinada forma cuadrática de 4 variables de valor real sobre los enteros. A priori esto no responde a la pregunta, porque tenemos que preocuparnos de los órdenes no máximos en $\mathbf{Q}(\sqrt{-m})$ . Sin embargo, parece (al menos en la lectura superficial de su artículo que he podido hacer esta tarde) que sus métodos pueden generalizarse a órdenes no máximos con un poco de cuidado. Si los aparentes reparos que la gente tiene sobre el argumento de Ben Wieland pueden ser resueltos, haré exactamente eso en unos días.

Pero suponiendo que todo salga bien, ¡la vida es estupenda! En particular, podemos llegar a una curva de Shimura $X^D$ que evita esos productos particulares de curvas elípticas CM si y sólo si existe un primo $p|D$ tal que $\left(\dfrac{-m}{p}\right) = 1$ para $m= 1,3,7,15$ . Podemos calcular que el mínimo de tales primos es $109$ que es $1 \bmod 12$ , $4 \bmod 5$ y $4\bmod 7$ .

Recordemos momentáneamente que $X^D$ es una curva completa si y sólo si la única álgebra racional de cuaterniones de discriminante $D$ es un álgebra de división si y sólo si $D$ es el producto libre de cuadrados de un número par de primos. Por comodidad, tomamos $D = 2p$ .

Por lo tanto (de nuevo asumiendo la parte de los pedidos no máximos) hemos encontrado $X^{218}$ para ser una curva que se encuentra en la imagen del mapa de Torelli en $\mathcal{A}_2$ y, por tanto, en $M_2$ .

Los comentarios son bienvenidos.