¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas en una habitación de 7 tengan el mismo cumpleaños?
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Shabaz
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La primera respuesta es ${7 \choose 3}\frac 1{365^2}=\frac 7{26645}\approx \frac 1{3807}$ Eliges los tres que coincidirán, dejas que el primero tenga cualquier cumpleaños y luego obligas a los otros dos a que coincidan. La probabilidad real es menor porque esto cuenta los casos con cuatro cumpleaños coincidentes cuatro veces (y los que tienen más de cuatro aún más) y los casos con dos conjuntos de tres dos veces. Como la probabilidad inicial es pequeña, estas correcciones son muy pequeñas. Dejo las correcciones como ejercicio.
Graham Kemp
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Para "exactamente 3", selecciona un cumpleaños y 3 personas que lo compartan, y para los 4 restantes, selecciona cualquier cumpleaños restante de manera que 4 no lo compartan, y la mitad de los casos en que otros 3 compartan un cumpleaños diferente (para evitar el recuento excesivo). Divide por formas para seleccionar cualquier cumpleaños de 7 personas.
$$\mathsf P(C=3) = \frac{365{7\choose 3}(364^4-363-364{4\choose 3}363/2)}{365^7}$$
¿Puedes hacer ahora "al menos 3"? (Sugerencia: podría ser más fácil utilizar la Ley de los Complementos).
Daps0l
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Depende de si te refieres a exactamente tres personas o al menos tres personas. Responderé a lo primero. La probabilidad va a ser una fracción grande y desordenada, cuyo numerador va a ser el número de "éxitos" y cuyo denominador será el número total de posibilidades.
La probabilidad de exactamente tres personas en una habitación que cumplen años el mismo día es igual al número de $7$ -partidas de números enteros entre $1$ y $365$ (ignorando los años bisiestos) con la propiedad de que exactamente $3$ de ellos es el mismo, dividido por el número de posibles $7$ -tuplas.
El número de posibles $7$ -es simplemente $$365^7$$
y este es nuestro denominador.
Hay $$\binom{7}{3}=35$$ formas de elegir a las tres personas que tienen idénticos cumpleaños. Una vez que los hemos elegido, hay $365$ formas de elegir qué día es el especial. Luego, una vez elegido eso, hay $$364^4$$ formas de elegir los cumpleaños de los restantes $4$ personas. Obsérvese la $364$ ya que no queremos que ninguno de esos cuatro tenga el mismo cumpleaños que los tres seleccionados.
Esto nos da un número preliminar de éxitos (nuestro numerador) como $$\binom{7}{3}\cdot 365 \cdot 364^4$$
Pero hemos contado algunas posibilidades más de las que deberíamos. Las cuatro personas restantes no pueden tener todas el mismo cumpleaños, ya que eso llevaría a que hubiera más de tres con el mismo cumpleaños (en lugar de exactamente tres). Hemos contado esas posibilidades una vez cuando no deberíamos haberlo hecho. Además, hemos contado doblemente los casos en los que exactamente tres de las cuatro personas restantes tienen idéntica fecha de nacimiento.
Caso 1 : Las cuatro personas restantes cumplen años el mismo día.
Hay exactamente $364$ de este caso, uno correspondiente a cada uno de los días restantes del año.
Caso 2 : De las cuatro personas restantes, exactamente tres tienen el mismo cumpleaños.
Hay cuatro maneras de elegir el que tiene el cumpleaños diferente. Teniendo en cuenta esto, hay $364$ maneras de elegir su cumpleaños, y luego $363$ formas de elegir el cumpleaños compartido de los otros tres. Así que en este caso, tenemos
$$4 \cdot 364 \cdot 363$$ sobrecostes.
El número de aciertos totales, teniendo en cuenta los dos casos de sobreconteo anteriores, es $$35 \cdot 365 \cdot 364^4 - 4 \cdot 364 \cdot 363 - 364$$
Dividiendo esto por el número de posibilidades totales, obtenemos nuestra respuesta final:
$$\frac{35 \cdot 365 \cdot 364^4 - 4 \cdot 364 \cdot 363 - 364}{365^7}=\frac{224267551925508}{863078009304453125} \approx 0.0002598$$
No es muy probable.
