¿Por qué deberían objetos algebraicos tienen naturalmente asociados espacios topológicos? (Antes: ¿Qué es un espacio topológico?)

Question

En esta pregunta, Harry Gindi estados:

El hecho de que un anillo conmutativo es un espacio topológico asociados con la realidad es una coincidencia interesante.

Por otra parte, en las respuestas, Pete L. Clark, da una lista de otros "realmente interesantes coincidencias" algebraico de objetos que tienen naturalmente asociada a espacios topológicos.

Hay una explicación más profunda de la aparición de estos "realmente interesantes coincidencias"? Esto parece sugerir que la definición estándar de "espacio topológico" (colección de subconjuntos, uniones, intersecciones, bla, bla), que de alguna manera siempre me pareció una especie de extraño y artificial definición para mí, tiene algún tipo de significado más profundo o una explicación, ya que aparece en todas partes...

El (ex) título de esta pregunta está destinada a ser provocativos ;-)

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Vea también:

¿Qué son interesantes las familias de subconjuntos de un conjunto dado?

¿Cómo puedo realmente motivar a la topología de Zariski en un esquema? --- en particular Allen Knutson la respuesta

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Edit 1: debo aclarar un poco. Permítanme ser más explícito: ¿hay una explicación unificada de (matemáticas ... o tal vez no) de por qué varios algebraicas (donde "algebraica" es vagamente definido) los objetos deben tener naturalmente asociada a espacios topológicos? Pete en los comentarios de las notas que no le gusta el uso de la palabra "coincidencia" aquí --- pero si estas cosas no son coincidencias, entonces ¿cuál es la explicación?

Por supuesto, yo no entiendo la idea intuitiva detrás de la definición de "espacio topológico", y cómo los resúmenes, por ejemplo, las nociones de "barrio" y "cerca" y "lejos". No es de extrañar que el formalismo de espacios topológicos es útil y omnipresente en situaciones que implican cosas como R^n, subconjuntos de R^n, colectores, métrica espacios, simplicial complejos, CW complejos, etc.

Sin embargo, cuando se empieza con algebraica de los objetos y, a continuación, obtener espacios topológicos de ellos --- me parece que de alguna manera sorprendente porque a priori no hay nada "geométrica" o "topológico" o de forma "s" o "barrio-y" pasando.

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Edit 2: Alguien ha votado para cerrar, diciendo que este no es "un problema real". Me disculpo por mi imprecisión y vaguedad, pero todavía pienso que esta es una pregunta real, para que real (matemático) de las respuestas concebiblemente puede existir.

Por ejemplo, tengo la esperanza de que tal vez no es un teorema a lo largo de las líneas de algo como:

Dada una expresión algebraica objeto de Una satisfacción bla, definir Spec(A) el conjunto de bla-desazón de Un tal que bla-bla-bla. Hay un natural de la topología en Spec(A), definido por [algo]. Cuando a es Un anillo conmutativo, esto está de acuerdo con la topología de Zariski en el primer espectro. Cuando Una es una conmutativa C^* álgebra, esto está de acuerdo con la [hay un nombre?] la topología en la Gelfand espectro. Cuando a es Un álgebra de boole... Cuando Una es una de Banach conmutativa anillo, etc...

Por supuesto, como un teorema, si un teorema que existe en absoluto, también se necesita una definición de 'algebraicas objeto'.

Answer 1

(He borrado mi respuesta original a esta pregunta debido a que la pregunta fue modificado de tal manera que hizo que mi respuesta irrelevante. Todavía creo que mi punto básico era válido, y por lo tanto estoy publicación de una nueva respuesta para hacer que el punto de nuevo. Como mi post original ganado un par de votos, yo juzgo que no éticas completamente reformular mi respuesta, pero mantener los votos. También estoy haciendo esta respuesta de la comunidad "wiki" no, porque creo que nadie debe editarlo pero para quitar de la reputación/voto juego).

Creo que la base de la respuesta a esta pregunta es que hay conexiones entre algebraicas y topológicas cosas porque miramos para ellos. Y hemos de buscar para ellos debido a que, en el pasado, los encontró útil. Algo que continuamente (y me refiero a "continuamente", pregúntale a uno) digo a mis alumnos es que los matemáticos son fundamentalmente perezoso. Si tenemos una buena teorema, que no sólo lo utilizan para lo que se demostró por primera vez, buscamos otras formas de uso, formas de extender, la manera de empujar más lejos de lo que fue nunca la intención de ser empujado. Así que si, como topologist, veo la algebraists haciendo cosas maravillosas con la clasificación y el estudio de los anillos, entonces voy a hacer mi mejor esfuerzo para hacer una llamada de mi espacio topológico para que yo pueda robar (lo siento, "uso") sus ideas y salvar a mí mismo un montón de molestia. Por lo tanto: cohomology de la teoría y de toda la zona de homotopy teoría.

Que lo contrario también es cierto que no es ninguna sorpresa. De nuevo, los matemáticos son perezosos, así que si vemos un puente con un montón de cosas útiles en una dirección, ignoramos la "ida" de los signos y van por otro camino.

Usted puede entonces preguntar "¿por Qué los puentes que existen en absoluto?". Bueno, no siempre existe. A veces podemos construir y a veces no. Se siente un poco como mirar un puente y decir "Wow! Que nunca habría pensado en poner un puente no?!" pero haciendo caso omiso de todos los tocones y se derrumbó la mitad de los puentes que la basura de la orilla del río. Por supuesto, uno puede preguntar acerca de un específico puente y preguntar ¿por que no se derrumbe, pero la pregunta que se siente mucho más general que el.

Así que, en conclusión, que los puentes que existen es, creo, más abajo a la orientación mulismo de los matemáticos decididos a construir un puente donde pueden, independientemente de cómo muchas de ellas y "Pont d'Avignon"s que crean en el proceso.

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Lo anterior, claramente, funciona para cualquiera de las dos áreas de las matemáticas. El pensamiento particular de espacios topológicos, entonces creo que el interrogador es que falta el punto de "cerca" y "lejos" un poco cuando él dice:

Sin embargo, cuando se empieza con algebraica de los objetos y, a continuación, obtener espacios topológicos de ellos --- me parece que de alguna manera sorprendente porque a priori no hay nada "geométrica" o "topológico" o de forma "s" o "barrio-y" pasando.

(Debo señalar que la "cerca" y "lejos" bit añadido en la pregunta es en respuesta a mi respuesta original.)

Considere este escenario:

1. Tengo algo que yo no sabía nada acerca de.
2. Puedo averiguar algo acerca de algo como esto , pero más sencillo?
3. Sí! Genial!!! Pero, ¿cómo puedo medir que las cosas son mejores aproximaciones de mi desconocido cosa que otros?

No es que lo que está pasando en el estudio de estos objetos algebraicos? El lenguaje es fundamentalmente topológico así que no hay ninguna sorpresa en absoluto que los espacios topológicos resultado.

Así que tan pronto como un área de las matemáticas se convierte en muy interesante, en que hay cosas que no puede entender de forma fácil y sencilla, a continuación, la cuestión de encontrar aproximaciones viene y por lo tanto de la topología.

En la conclusión de esta segunda parte, "interesante = topológico" para hacer que el (extraño) suposición de que el álgebra es interesante, por tanto, debe ser topológico.

Answer 2

Esta es una excelente pregunta, creo.

Espacios topológicos podría ser crudamente --- y me refiero a crudamente --- dividen en dos clases:

• El geométrica. Estos son los espacios que se presentan todo sobre la geometría y la topología algebraica — colectores, CW complejos, la configuración de los espacios, CW complejos, etc. Estos son, casi invariablemente, Hausdorff, aunque hay un montón de compacto de Hausdorff espacios que son considerados a menudo como "patológico", como el conjunto de Cantor. No me gusta mucho de términos tales como "agradable espacio" y "patológico", porque a pesar de que podría ser la intención de causar daño, que me suena un poco despectivo hacia el segundo tipo de espacio.

• Los espectros. Estoy usando este término a grandes rasgos (y no en el sentido de homotopy teoría), pero me refiero a cosas como el espectro de un anillo, el espectro de un álgebra de boole (= un compacto Hausdorff totalmente desconectado de espacio), el máximo del espectro de una C*-álgebra, y entonces las cosas tales como los conjuntos de Julia, atractores dinámicos, y las soluciones a los sistemas de función iterada, todos los cuales tienen un spectrummy sentir a mí.

Los espectros parecen un poco amado. Nadie niega la importancia de, por ejemplo, la Especificación de un anillo conmutativo, pero aún así, creo que la mayoría de los matemáticos inconscientemente relación geométrica de espacios como el principal tipo, y a veces los espectros simplemente déjate llevar como "patológico".

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Edit: no leer esto sin también la lectura de Ilya Grigoriev el comentario de abajo!

Answer 3

Creo que una razonable explicación parcial viene de álgebra universal. La celosía Con(A) de congruencias de un álgebra es siempre una completa algebraica de celosía. Por lo tanto, es cumplir continua en el sentido de que $\bigvee_i un \wedge b_i = a \wedge \bigvee_i b_i$ siempre $b_i$ form una dirigida familia de congruencias. Cuando Con(A) pasa a ser finitely distributiva, entonces uno puede caer el 'dirigida' requisito. En este caso, Con(A) se convierte en un marco y por lo tanto, puede ser visto como un resumen de topológica del espacio (es decir, una configuración regional). De hecho, ya que Con(A) es algebraica de la configuración regional correspondiente es siempre espaciales y siempre corresponde a un hormigón espectral espacio.

En el caso de un anillo conmutativo A, la celosía Con(A) es isomorfo con el entramado de Identificación(A) de los ideales de A. El entramado de Identificación(A) no es siempre distributiva. (Aunque esto es cuando Una es una Prüfer de dominio y por lo tanto, cuando a es Un dominio de Dedekind, por ejemplo). Para remediar esto, uno se ve en la radical ideales de a, que son siempre un mejor comportamiento, para definir el espectro de Zariski. En mi humilde opinión, la existencia de los radicales hace conmutativa anillos muy especial entre álgebras.

Answer 4

Me voy a tomar la cuestión en el valor de cara, pero no en el sentido de justificar la definición.

Un espacio topológico es una conveniente forma de codificación, o tal vez mejor, la organización, ciertos tipos de información. (Vaga pero cierto! Voy a dar algunos casos. los datos a veces es `espacial', pero más a menudo que no, no lo es).

Tal vez no deberíamos pensar en espacios como 'dios' meramente 'conveniente', y hay variantes que son más apropiadas en diferentes contextos.

Una pregunta relacionada, procedentes de una antigua Forma Teórico (yo) es : cuando alguien comienza un teorema con 'Dado un espacio de $X$...', ¿cómo es el espacio 'dado'? Como una expresión algebraica topologist yo a veces es necesario usar CW-complejos, pero el inconveniente de que si me podía dar el CW estructura precisamente yo probablemente podría escribir un modelo algebraico para su homotopy tipo precisamente, y viceversa, por lo que un buen modelo es exactamente el mismo que el que empecé. Yo esperaba más comprensión de lo que el espacio de la 'era' de mi modelado. Dar el espacio es el final del proceso, no el principio. Extraño. Un espacio es un pseudo-visual de la forma de pensar acerca de 'datos', que codifica las características importantes, o en leastsome características que se pueden analizar, de forma parcial.

Si alguien me da un subespacio compacto de $\mathbb{R}^n$, tal vez el uso de algunas ecuaciones y desigualdades, puedo trabajar fuera algebraicas invariantes de su homotopy tipo, en lugar de sólo su débil homotopy tipo? La respuesta suele ser que no. Sin embargo, las propiedades importantes de $C^*$ álgebra de operadores en un espacio de este tipo, a veces puede estar relacionado con algebraicas invariantes topológicos de la homotopy tipo.

Los espacios pueden surgir como formas de codificación de datos reales como en topológico de análisis de datos, donde hay una "nube" de puntos de datos y el practicante se supone que para decir algo acerca del espacio desde el cual incluye los datos. Hay un número finito de puntos de datos, pero sin abrir los conjuntos dados, que son para el analista de datos para 'divina'.

No todos los datos espaciales está muy bien modelado por espacios como tal y dirigida espacios de diversos tipos se han propuesto como modelos para el cambio de datos. Los modelos de espacio-tiempo son como este, pero también modelos para sistemas concurrentes.

Mirando finito de espacios topológicos es de nuevo útil para la codificación de finito de datos (y rara vez he visto una cantidad infinita de datos). Por ejemplo, las relaciones entre finito de conjuntos de datos pueden ser y son modeladas en este camino. Finito de espacios de dar a todos los homotopy tipos realizable por el simplicial complejos. Finito de espacios puede ser determinado con precisión (siempre que no sean demasiado grandes!) ¿Cómo invariantes de los limitados espacios que aparecen en su estructura? (Tenga en cuenta el problema de los infinitos intersecciones no tiene cabida aquí!!!)

En el otro extremo, necesitamos los puntos? Son las localizaciones no se limpia temeroso y que pueden surgir en un montón de situaciones algebraicas, de nuevo codificación algebraica de la información. Es una configuración regional de un espacio?

Repito espacios topológicos son convenientes, y en los ejemplos que se citan a partir de la geometría algebraica se produce el ajuste por buenas razones algebraicas. En otros contextos en los que no. Cualquier topos de Grothendieck se ve como gavillas en un espacio, pero el espacio involucrado no suele ser del todo `bonito' en el algebraicas sentido topológico, entonces usamos la topos y pretender que es un espacio, más o menos.

Answer 5

Desde la perspectiva de la configuración regional de la teoría, de un espacio topológico es nada más que un modelo de la teoría de la finitary conjunciones y infinitary disyunciones (correspondientes, tal vez, a la intuición de que semidecidable proposiciones son cerrados bajo precisamente estas operaciones, y la idea de que "abrir" de alguna manera es sólo una forma geométrica casting de "semidecidable"); es decir, un espacio topológico es poco más que un entramado con finito cumple y infinitary combinaciones, el ex distribuir sobre el segundo (es decir, un marco). Tal vez no sea sorprendente que muchas estructuras algebraicas debe dar lugar a (completa) de celosías de satisfacer esta propiedad distributiva, que es? Bueno, eso es una opinión subjetiva. Quizás no es la mejor respuesta. Pero es lo que voy con todo por ahora. [Es decir, no es tan sorprendente que muchos de los objetos algebraicos deberían dar lugar a cuadros; la más sorprendente es la realización de que marcos podría ser entendido (contravariantly) en términos geométricos en el primer lugar.]