¿Cuáles son las unidades o dimensiones de la función delta de Dirac?

Question

En tres dimensiones, la función delta de Dirac $\delta^3 (\textbf{r}) = \delta(x) \delta(y) \delta(z)$ está definida por la integral de volumen:

$$\int_{\text{todo el espacio}} \delta^3 (\textbf{r}) \, dV = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \delta(y) \delta(z) \, dx \, dy \, dz = 1$$

donde

$$\delta(x) = 0 \text{ si } x \neq 0$$

y

$$\delta(x) = \infty \text{ si } x = 0$$

y de manera similar para $\delta(y)$ y $\delta(z)$.

¿Significa esto que $\delta^3 (\textbf{r})$ tiene dimensiones de volumen recíproco?

Como ejemplo, un libro de texto que estoy leyendo dice:

Para una colección de cargas puntuales $N$ podemos definir una densidad de carga

$$\rho(\textbf{r}) = \sum_{i=1}^N q_i \delta(\textbf{r} - \textbf{r}_i)$$

donde $\textbf{r}_i$ y $q_i$ son la posición y la carga de la partícula $i$, respectivamente.

Normalmente, pensaríamos que la densidad de carga tiene unidades de carga por volumen en tres dimensiones: $(\text{volumen})^{-1}$. Por ejemplo, pensaríamos que las unidades de $\frac{\text{C}}{\text{m}^3}$ podrían ser posibles unidades del SI de densidad de carga. Si mi suposición es correcta, entonces $\delta^3 (\textbf{r})$ debe tener unidades de $(\text{volumen})^{-1}$, como $\text{m}^{-3}$ por ejemplo. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí. El delta de Dirac siempre tiene la dimensión inversa de su argumento. Puedes verlo en su definición, tu primera ecuación. Así que en una dimensión $\delta(x)$ tiene dimensiones de longitud inversa, en tres dimensiones espaciales $\delta^{(3)}(\vec x)$ (a veces simplemente escrito como $\delta(\vec x)$) tiene dimensión de volumen inverso, y en $n$ dimensiones de momento $\delta^{(n)}(\vec p)$ tiene dimensiones de momento inverso elevado a la potencia de $n$.

Answer 2

Sea $x$ adimensional y usando la propiedad $\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$ vemos que efectivamente la dimensión de un delta de Dirac es la dimensión del inverso de su argumento.

Un ejemplo recurrente es por ejemplo $\delta(p'-p)$ donde $p$ denota momento, este delta tiene dimensión de masa inversa en unidades naturales.