La crítica de Connes fue analizada recientemente por Kanovei, Katz y Mormann en este artículo de Fundamentos de la Ciencia (véase también arXiv 1211.0244 ). Este es el resumen:
Examinamos algunas de las críticas de Connes a los infinitesimales de Robinson a partir de 1995. Connes trató de explotar el modelo S de Solovay como munición contra el análisis no estándar, pero el modelo tiende a ser un bumerán, socavando el propio trabajo anterior de Connes en el análisis funcional. Connes describió los hiperreales como una "teoría virtual" y una "quimera", aunque reconoció que su argumento se basa en el principio de transferencia. Analizamos el experimento mental de Connes de "lanzamiento de dardos", pero llegamos a una conclusión opuesta. En S, todos los conjuntos definibles de reales son medibles por Lebesgue, lo que sugiere que Connes considera que una teoría es "virtual" si no es definible en un modelo adecuado de ZFC. De ser así, la afirmación de Connes de que una teoría de los hiperreales es 'virtual' queda refutada por la existencia de un modelo definible del campo hiperreal debido a Kanovei y Shelah. Los ultrafiltros libres no son definibles, y sin embargo Connes explotó tales ultrafiltros tanto en su propio trabajo anterior sobre la clasificación de factores en los años 70 y 80, como en la Geometría No Conmutativa, lo que plantea la cuestión de si esta última no puede ser vulnerable a la crítica de Connes sobre la virtualidad.
Analizamos los fundamentos filosóficos del argumento de Connes basado en el teorema de incompletitud de Goedel, y detectamos una aparente circularidad en la lógica de Connes. Documentamos la dependencia de material fundacional no constructivo, y en concreto de la traza de Dixmier (que aparece en la portada de la obra magna de Connes) y del teorema de Hahn-Banach, en el propio marco de Connes. También observamos una inexactitud en la crítica de Machover a la pedagogía basada en el infinitesimal.
Una breve reseña de Kanovei-Shelah es aquí.
Connes escribió en 2001 lo siguiente:
¿Qué conclusión se puede sacar del análisis no estándar? Esto significa que, como nadie podrá nombrar nunca un número no estándar, la teoría sigue siendo virtual (Connes et al. 2001, p. 16)
El significado exacto del verbo "nombrar" utilizado por Connes aquí no está del todo claro. Connes dio una pista sobre su significado en 2000, en los siguientes términos:
si te dan un número no estándar puedes producir canónicamente un subconjunto del intervalo que no es medible por Lebesgue. Ahora sabemos por la lógica (por los resultados de Paul Cohen y Solovay) que siempre será imposible producir explícitamente [sic] un subconjunto de los números reales, del intervalo [0, 1], digamos, que no sea medible por Lebesgue (Connes 2000a, p. 21, 2004, p. 14).
La referencia a Solovay indica que Connes se basa en el resultado, que puede encontrarse en Solovay (1970, p. 3, Teorema 2) sobre la existencia de un modelo S de la teoría de conjuntos ZFC, en el que (es cierto que) todo conjunto de reales definible a partir de una secuencia contable de ordinales es medible por Lebesgue. Así, cuando Connes afirma que la teoría sigue siendo virtual aparentemente quiere decir que la teoría sigue siendo indefinible .
Sin embargo, esto se contradice con la existencia de un campo hiperreal definible en ZF, con transferencia probable usando sólo el axioma contable de elección, y una suposición adicional de buena ordenabilidad (más débil que la buena ordenabilidad de los reales dada por Connes) que garantiza la propiedad; véase esta respuesta para más detalles.
