En math.stackexchange se preguntó si todos los arcos en el plano son isotópicos de ambiente. Sugerí que se podía demostrar esto apelando al teorema de Schönflies, lo que se puede hacer siempre que se pueda extender el arco de Jordan a una curva de Jordan. Es decir, siempre que se pueda extender una incrustación de un intervalo a una incrustación de un círculo. Sin embargo, tengo que admitir que no veo fácilmente cómo hacerlo, y hay ejemplos que muestran que es una cuestión sutil. Por ejemplo, se puede tomar un arco que se desplaza infinitamente hacia un punto. Así que mi pregunta es cómo se puede mostrar una incrustación de un arco en $\mathbb R^2$ se extiende a una incrustación de un círculo en $\mathbb R^2$ o, en su defecto, si alguien conoce alguna otra prueba de que todos los arcos de Jordania planos son estándar.
Editar: Quiero destacar la elegante respuesta de Bill Thurston (en un comentario) a la pregunta de si se puede extender un arco a una circunferencia, aunque acepté su otra respuesta utilizando el teorema de Caratheodory. A saber, suponga que su arco va desde $0$ a $\infty$ sur $\mathbb C\cup\{\infty\}$ . A continuación, tome la imagen previa bajo la cubierta de doble rama $z\mapsto z^2$ . El arco original puede identificarse con una de sus dos preimágenes, mientras que la otra preimagen lo rellena con un círculo. Entonces se puede aplicar el teorema de Schönflies.
