Si $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n $ es convergente con $a_n$ positivo, entonces $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {{(a_n)}^{1/2}}{n}$ también es convergente

Question

Pregunta: $$\sum_{n=1}^\infty a_n $$ es convergente con $a_n$ positivo, pruebe la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac {{(a_n)}^{1/2}}{n}$$ es convergente.

La pista que se da es: $x^2+y^2\geq2xy$ .

Pero no puedo realizar nada a partir de la sugerencia, por lo que pedir aquí para la ayuda. Sé que tiene algo que ver con el teorema de comparación. ¿Alguien puede ayudar? ¡Gracias!

Si hay otro método sin usar esta pista, por favor, siéntase libre de decirme también! gracias! Y también por favor proporcione el método general para resolver este tipo de preguntas si hay alguno. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Acepta la indirecta con $x = a_n^{1/2}$ y $y = 1/n$ .

Answer 2

Puede utilizar $\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}$ para declarar: $$ \sum_{n\geq 1}\sqrt{\frac{a_n}{n^2}}\leq \frac{1}{2}\left(\sum_{n\geq 1}a_n+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}\right)\tag{1}$$ o el Desigualdad de Cauchy-Schwarz que da: $$ \sum_{n\geq 1}\sqrt{\frac{a_n}{n^2}}\leq \sqrt{\frac{\pi^2}{6}\sum_{n\geq 1}a_n}\tag{2}$$ desde: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}.\tag{3}$$