Sostiene que $$ M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 $$ está en forma exacta si y sólo si $$ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} $$
$$ \left(5 x^{4}-4 x^{3} y^{3}\right) d x+\left(5-3 x^{4} y^{4}\right) d y=0 $$ es exacta si y sólo si
$$ \begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial y}\left(5 x^{4}-4 x^{3} y^{3}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(5-3 x^{4} y^{4}\right)\\ &\Leftrightarrow -12 x^{3} y^{2}=-12 x^{3} y^{2} \end{aligned} $$
Ok, así que puedo probar que está en la forma exacta.
Sin embargo, no estoy seguro de cómo resolverlo o si puedo conseguir que se simplifique más. ¿Puedo mostrarlo sólo de forma implícita? También siéntase libre de comentar sobre mi uso de las flechas if y iff. No estoy seguro de si mi notación es completamente correcta. $$ \begin{aligned} &\left(5 x^{4}-4 x^{3} y^{3}\right) d x+\left(5-3 x^{4} y^{4}\right) d y=0\\ &\Leftrightarrow \left(5 x^{4}-4 x^{3} y^{3}\right) d x=-\left(5-3 x^{4} y^{2}\right) d y\\ &\Rightarrow \int\left(5 x^{4}-4 x^{3} y^{3}\right) d x=-\int\left(5-3 x^{4} y^{2}\right) d y\\ &\Rightarrow x^{5}-x^{4} y^{3}+c_{1}=-5 y+x^{4} y^{3}+c_{2}\\ &\Leftrightarrow 5 y-2\left(x^{4} y^{3}\right)=-x^{5}-c_{1}+c_{2}\\ &\Rightarrow y\left(-2 x^{4} y^{2}+5\right)=-x^{5}+c \end{aligned} $$
Tampoco estoy completamente seguro de por qué es útil determinar si una función está en forma exacta.
