¿Qué hacer después del cálculo?

Question

Ok esta es una pregunta un poco incontestable, pero esperemos que alguien responda. Como he ido a través de la universidad y la escuela secundaria ha habido una especie de "camino" a través del cual se aprenden las matemáticas. Por ejemplo, pasé por matemáticas básicas, preálgebra, álgebra, pre-cálculo, cálculo 1-3. Mi pregunta es hacia dónde ir después de la universidad. Mi pregunta es a dónde ir después de cálculo tres (que es donde estoy ahora, por cierto). Me parece que las matemáticas empiezan a ramificarse después del cálculo. Me preocupa acabar en clases que no pueda entender del todo por no tener los conocimientos previos. ¿Voy a álgebra lineal, análisis real, teoría de números, otra rama ...?

Estoy estudiando matemáticas y me gustaría sacar el máximo partido de cada clase, así que si alguien me puede decir qué le ha funcionado o no, se lo agradecería.

Answer 1

No sé qué implica "Cálculo 1-3", pero si los términos "campo ordenado completo" y "propiedad del mínimo superior" no significan nada para ti, yo empezaría con un primer curso de análisis real. Lo de siempre: Secuencias de Cauchy, series absoluta y condicionalmente convergentes, la $\varepsilon$ - $\delta$ definición de continuidad, teorema del valor intermedio, construcción rigurosa de la integral de Riemann mediante sumas superiores e inferiores $\ldots$

De ahí se deriva todo el análisis (al menos el no estándar), incluidos los espacios métricos, la topología (en menor medida, hay que reconocerlo), la geometría diferencial, el análisis complejo, el análisis funcional y la teoría de medidas.

Parafraseando al difunto Randy Pausch: Fundamentos. Fundamentos. Fundamentos. Tienes que tener claro lo básico o las cosas elegantes no funcionarán.

A partir de ahí miraría el álgebra lineal. Como ya se ha dicho, es bonita y concreta, pero muy útil y aparece en muchos sitios. Por ejemplo en álgebra abstracta cuando se estudian extensiones de campo(a).

Hablando de álgebra abstracta, ocupa un lugar interesante en las matemáticas de pregrado. Me resulta difícil de explicar, pero es como si estuviera sentada en un rincón haciendo sus propias cosas, al menos hasta que llegas, por ejemplo, a la topología algebraica. Pero la topología algebraica no se suele enseñar a los estudiantes universitarios (al menos que yo sepa), así que el álgebra parece bastante desconectada del resto de la educación matemática universitaria.

En resumen, yo me mantendría alejado del álgebra abstracta más allá del primer curso (porque todos los estudiantes de matemáticas de licenciatura necesitan conocer al menos grupos, anillos y campos) a menos que 1) te haya encantado el primer curso, 2) descubras que las herramientas algebraicas son necesarias para otra cosa que te guste, o 3) las normas digan que debes hacer más álgebra.

(a) Aunque probablemente no en un primer curso de álgebra abstracta, ya que la teoría de Galois no puede enseñarse realmente hasta después de haber hecho los fundamentos de grupos, anillos y campos, que ocupan al menos un semestre.

Answer 2

Un buen curso de Historia de las Matemáticas probablemente sería ameno, y te daría una buena idea de qué cosas son y dónde están.

Desde el punto de vista matemático, el álgebra lineal suele ser un buen "primer curso de matemáticas avanzadas", un buen punto de partida: Sigue siendo lo bastante concreto como para que no te pierdas en un mar de abstracción (un posible problema con el álgebra abstracta dependiendo de cómo se enseñe), abarca ideas completamente nuevas (el "cálculo avanzado" puede dar la sensación de que estás volviendo a pisar el mismo terreno que ya conoces, y dependiendo de los temas específicos el análisis también puede dar esa sensación), pero debería hacerte trabajar con demostraciones y conceptos de una forma con la que probablemente no lo hayas hecho hasta ahora. Además, los métodos lineales aparecerán por todas partes más adelante, por lo que resultarán útiles.

En esa misma línea, la Teoría de Números puede ser un buen "primer curso abstracto de matemáticas", que se ciña a cosas con las que se está muy familiarizado (los números enteros y los racionales) y, probablemente, depare algunas sorpresas interesantes. A menudo sorprende a mucha gente cómo mucho de las matemáticas surge de la teoría de números (análisis complejo y álgebra abstracta, por citar sólo dos).

Si quieres centrarte en la parte aplicada, las ecuaciones diferenciales también son una buena opción. Aunque el álgebra lineal también sería útil.

Por lo tanto, yo sugeriría primero álgebra lineal o teoría de números (si también puedes conseguir un buen curso de historia de las matemáticas, hazlo también), luego decide si quieres ir hacia la abstracción (en cuyo caso, dirígete al álgebra abstracta, análisis matemático, o cualquiera de álgebra lineal o teoría de números que no hayas tomado) o más hacia las aplicaciones (ecuaciones diferenciales, un buen curso avanzado de probabilidad/estadística, o un curso de matemáticas discretas).

Es cierto que las matemáticas empiezan a ramificarse, pero algunas de las cosas más interesantes suceden donde se juntan las ramas; sería ideal poder cursar una buena secuencia de un semestre o un año en las áreas principales (análisis, álgebra, ecuaciones diferenciales, topología, teoría lógica/de conjuntos, teoría de números), y luego pasar a cursos más avanzados en el área o áreas que te parezcan interesantes. Pero la verdad es que esto es muy difícil de hacer: no sólo no habría una oferta tan amplia salvo en las universidades más grandes, sino que además supondría una lote de tu tiempo. Yo hice mi licenciatura en México, donde todo lo que hice en la universidad fueron cursos de matemáticas, y básicamente tomó seis semestres antes de que eso se hubiera cubierto (además de la secuencia de cálculo, una secuencia de álgebra lineal, una secuencia de álgebra abstracta, una secuencia de análisis matemático, ecuaciones diferenciales, matemáticas discretas, análisis complejo, probabilidad y estadística, además de algunas otras cosas para "llenar las esquinas"; Sería apenas posible hacerlo en dos años si no se cursa la secuencia de cálculo, pero no si también se cursan otras asignaturas, como sería el caso en la mayoría de las instituciones de Estados Unidos).

Answer 3

He sugerido tres caminos alternativos al cálculo habitual uno en este ¡Responde!

Answer 4

Gran parte de las matemáticas, tal y como han evolucionado en el siglo XX, son bastante independientes del cálculo. La teoría de juegos, la teoría de grafos, la combinatoria, las matemáticas discretas, etc., son a menudo cursos que se imparten sin un prerrequisito específico de cálculo. El orden en que se estudian las matemáticas está relacionado en cierta medida con los objetivos y "talentos naturales" de cada uno. Por ejemplo, hay partes de la geometría que no requieren cálculo (directamente), mientras que hay otras partes de la geometría en las que el uso de métodos de cálculo es muy importante. Si uno se especializa en matemáticas, suele haber una "ruta recomendada" de cursos en la escuela en la que estudia.

Answer 5

Si estás interesado en ampliar tus conocimientos de cálculo de forma que establezcas vínculos con muchas otras áreas de las matemáticas, una dirección natural sería hacer un curso de álgebra lineal y otro de geometría diferencial. A partir de ahí, podrías hacer un curso de análisis y otro de variedades. Llegados a este punto, el tema de los grupos de Lie actúa como una especie de imagen unificadora de todos los cursos mencionados anteriormente: encaja todo de una forma muy agradable y te proporciona muchas conexiones placenteras entre la teoría de grupos, el álgebra lineal y el análisis. El libro de Stillwell "Naive Lie Theory" es algo que puedes coger ahora mismo y empezar a leer. Al leer el libro es probable que puedas detectar con qué te sientes cómodo y con qué no, y partir de ahí.