Relación de recurrencia de la suma binomial.

Question

Estoy tratando de encontrar una solución de forma cerrada para la suma $$ a(n):= \sum_{k=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \binom{n}{3k}. $$

En mi intento, encontré los primeros valores de $a(n)$ y los introduje en el OEIS y obtuve un resultado para la secuencia A024493. En las notas vi que se daba una relación de recurrencia, a saber $$ a(n) = 3a(n-1)-3a(n-2)+2a(n-3) $$ o quizás de forma más esclarecedora $$ a(n)-3a(n-1)+3a(n-2)-a(n-3) = a(n-3) $$ donde podemos ver que los coeficientes del lado derecho son $(-1)^i \binom{3}{i}$ para $0\leq i \leq 3$ .

He intentado demostrar esta relación por inducción, pero el resultado parece depender del valor de $n\mod 3$ más que en los términos anteriores.

¿Alguna idea de cómo puedo probar que $a(n)$ satisface la recursión dada?

Answer 1

Teniendo en cuenta que para $ k > n$ ou $ k < 0$ , ${ n \choose k } =0 $ podemos escribir $a_n = \sum_{k= - \infty } ^\infty { n \choose 3k}$ . Esto nos permite evitar el "tener que considerar $n \pmod{3}$ casos".

Entonces utiliza la identidad $ { n\choose k } = { n-1 \choose k-1 } + { n - 1 \choose k }$ (que sigue siendo cierto cuando $k > n$ ou $k < 0$ ) para reducir iterativamente $a_n - 3 a_{n-1} + 3a_{n-2} + 2 a_{n-3}$ , IE

$= \left[ \sum_{k} { n \choose 3k} \right] - 3 a_{n-1} + 3a_{n-2} - 2 a_{n-3} $
$ = \left[ \sum_{k} { n-1 \choose 3k-1} + {n-1 \choose 3k }\right] - 3 a_{n-1} + 3a_{n-2} - 2 a_{n-3}$
$ = \left[ \sum_{k} { n-1 \choose 3k-1} - 2 {n-1 \choose 3k }\right] + 3a_{n-2} - 2 a_{n-3}$
$ = \ldots $

¿Puedes completarlo para demostrar que es igual a 0?

Answer 2

Por el teorema del binomio:

$$(1+x)^n={n \choose 0}+ {n \choose 1} x+ {n \choose 2} x^2+{ n\choose 3} x^3+{n \choose 4} x^4+....+{n \choose n}x^n~~(1)$$ Pongamos $x=1,w,w^2$ donde $w$ es raíz cúbica de la unidad tal que $w^3=1$ y $1+w+w^2=0$ . Obtenemos $$2^n={n \choose 0}+ {n \choose 1} + {n \choose 2}+{ n\choose 3}+{n \choose 4}+....+{n \choose n}.(2)$$ $$(1+w)^n={n \choose 0}+ {n \choose 1} w+ {n \choose 2} w^2+{ n\choose 3} w^3+{n \choose 4} w^4+....+{n \choose n}w^n(3)$$ $$(1+w^2)^n={n \choose 0}+ {n \choose 1}w^2 + {n \choose 2} w+{ n\choose 3}w^6+{n \choose 4}w^2+....+{n \choose n}w^{2n}.~~(4)$$ Sumando (1-3) abd canta la propiedad que $1+w+w^2=0$ obtenemos $$A_n=\sum_{k=0}^{[n/3]} {n \choose 3k}=\frac{1}{3}(2^n+(-1)^n[e^{4i\pi n/3}+e^{2i\pi n/3}])=\frac{1}{3}[2^n+2\cos(\pi n/3)]$$ Se puede comprobar que ambos $2^n$ y $\cos(\pi n/3)$ ambos combinados o por separado satisfacen la relación de recurrencia reclamada que $$A_n-3A_{n-1}+3A_{n-2}-2A_{n-3}=0,$$ porque $-3A_{n-1}+3A_{n-2}=-3\cos(n \pi/3)$ y $A_n-2A_{n-3}=3 \cos (n\pi/3)$

Answer 3

El aceite de serpiente descubre y prueba simultáneamente la recurrencia: \begin{align} \sum_{n \ge 0} a_n z^n &=\sum_{n \ge 0} \sum_{k=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \binom{n}{3k} z^n \\ &= \sum_{k\ge 0} \sum_{n \ge 3k} \binom{n}{3k} z^n \\ &= \sum_{k\ge 0} \frac{z^{3k}}{(1-z)^{3k+1}} \\ &= \frac{1}{(1-z)} \sum_{k\ge 0} \left[\left(\frac{z}{1-z}\right)^3\right]^k \\ &= \frac{1}{(1-z)} \cdot \frac{1}{1-\left(\frac{z}{1-z}\right)^3} \\ &= \frac{(1 - z)^2}{(1 - 2 z) (1 -z + z^2)} \\ &= \frac{(1 - z)^2}{1 - 3 z + 3 z^2 - 2 z^3} \end{align} El denominador implica inmediatamente que $$a_n=3 a_{n-1} - 3 a_{n-2} + 2 a_{n-3}.$$