¿Cómo funciona la propiedad del exponente en $\left(xe^{\frac{1}{x}}-x\right)$

Question

¿Cómo es que $\left(xe^{\frac{1}{x}}-x\right)$

convertirse en

$\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}}$

Answer 1

$$\ xe^{\frac{1}{x}}-x=x(e^{\frac{1}{x}}-1)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}$$

Porque cuando se tiene el producto de dos términos, digamos $\ a\cdot b$ es equivalente a $\ \frac{1}{\frac{1}{a}}\cdot b=\frac{b}{\frac{1}{a}}$

Answer 2

Mosh responde a su pregunta del orden correcto (camino perfecto), sin embargo quería señalar que también se puede ir en el otro sentido (y probarlo).

He aquí cómo:

$$\frac{(e^{\frac{1}{x}}-1)}{(\frac{1}{x})}=(e^{\frac{1}{x}}-1)\div \frac{1}{x}=(e^{\frac{1}{x}}-1)× x= xe^{\frac{1}{x}}-x$$

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Por lo tanto:

$$\frac{(e^{\frac{1}{x}}-1)}{(\frac{1}{x})}=xe^{\frac{1}{x}}-x$$

Answer 3

Con más pasos intermedios : $$\left(xe^{\frac{1}{x}}-x\right)=$$ $$=x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)$$ Dejemos que $x=\frac{1}{t}$ Sustituir $x$ por $\frac{1}{t}$ $$=\frac{1}{t}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)$$ $$=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{t}$$ $t=\frac{1}{x}$ Sustituir $t$ por $\frac{1}{x}$ $$=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}}$$

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Otro buen método : $$\left(xe^{\frac{1}{x}}-x\right)=$$ $$=\frac{x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{1}$$ Multiplica el numerador y el denominador por el mismo término $\frac{1}{x}$ $$=\frac{\frac{1}{x}x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}}$$ Simplifique $\frac{1}{x}x=1$ $$=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)}{\frac{1}{x}}$$