Thm . Una matriz $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ con $m \geq n$ tiene rango completo si y sólo si no asigna dos vectores distintos al mismo vector.
Voy a escribir la prueba (dada por mi texto) línea por línea porque hay ciertas afirmaciones de las que no estoy seguro. Estoy un poco oxidado con el álgebra lineal. Para cada enunciado de la prueba, daré un enunciado de la prueba y mi análisis inmediatamente debajo. Lo contrario lo intentaré demostrar con mis propias palabras. Por favor, dame una opinión constructiva sobre la corrección de mi interpretación(es).
prueba ( $\implies$ )
- Si A es de rango completo, sus columnas son linealmente independientes, ...
De acuerdo. Desde $m \geq n$ y el rango completo se define como la máxima dimensión posible abarcada por los espacios de fila o columna de $A$ entonces debe ser que el rango de $A$ es $n$ lo que implica que el $n$ columnas de A span $\mathbb{C}^n$ . Lo cual sólo es posible si el $n$ columnas son linealmente independientes.
- ... por lo que forman una base para la gama $(A)$ .
Creo que estoy de acuerdo porque, como las columnas son L.I., forman una base para $\mathbb{C}^n$ que es el espacio de columnas de $A$ que es el rango de $A$ .
- Esto significa que cada vector $b \in \text{range}(A)$ tiene una expansión lineal única en términos de las columnas de $A$ y, por lo tanto, tiene un único $x$ s.t $b = Ax$ .
Tengo la fuerte intuición de que la expansión es única, ya que ninguna de las columnas de $A$ pueden ser escalables entre sí. Pero, ¿cómo se demuestra esta afirmación? ¿Considero que $x,y$ tal que $Ax = b$ y $Ay = b$ y luego ( $a_i$ son columnas de $a$ )
$$ y_1a_1 + \cdots + y_na_n = x_1a_1 + \cdots + x_na_n $$ $$(y_1 - x_1)a_1 + \cdots + (y_n - x_n)a_n = 0 $$
Y como las columnas son L.I. el único conjunto de soluciones posibles es
$$\{y_1 - x_1 = 0, \dots , y_n - x_n = 0\} \implies x = y$$
Converse (prueba por contraposición).
Si $A$ no es de rango completo, entonces las columnas de $A$ debe ser linealmente dependiente. Por lo tanto, hay una solución no trivial $x$ a la ecuación
$$Ax = x_1a_1 + \cdots + x_na_n = 0$$
Esto significa que para cualquier otro vector $c \in \mathbb{C}^n$ tenemos
$$Ac = Ax + Ac = A(x+c)$$
para que $x+c$ y $c$ se asignan al mismo vector $Ac$ . Es decir, hemos demostrado que si $A$ no es de rango completo, entonces el mapeo no es único . Así que por contraposición, a el mapeo único implica que A es de rango completo .
Lo siento, no ha sido bonito.
