Prueba de $\lim_{x\to\infty}1/x=0$

Question

Estoy tratando de demostrar que el límite de $1/x$ acercándose a cero como $x$ se acerca a $\infty$ .

Mi profesor pide que utilicemos esta definición: Para todos los $\varepsilon>0$ existe $m$ de manera que si $x>m$ entonces $f(x)L<\varepsilon$ .

Llegué al punto de Para todos $\varepsilon>0$ , si $x$ es mayor que $\varepsilon$ entonces el valor absoluto de $1/x$ es menor que epsilon. Pero no estoy seguro de haber tomado la dirección correcta.

Answer 1

Desea encontrar un $m$ en función de $\varepsilon$ que hace que la condición se mantenga.

Si $x>\frac1\varepsilon$ entonces $$\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac1x < \frac{1}{\frac1\varepsilon} = \varepsilon, $$ por lo que puede elegir $m = \frac1\varepsilon$ .

Answer 2

No estoy seguro de que estés enfocando esto correctamente. Usted afirma que si $x>\varepsilon$ entonces $|\frac{1}{x}|<\varepsilon$ . Pero, ¿y si $\varepsilon=\frac{1}{4}$ ? Entonces, si $x=\frac{1}{2}$ tenemos que $x>\varepsilon$ pero $$|\frac{1}{x}|= \ | \frac{1}{1/2}|=|2|>\varepsilon,$$ lo que demuestra claramente que la afirmación es falsa.

Sugiero tratar de encontrar alguna regla para elegir $m$ para que siempre que $x>m$ tenemos $|\frac{1}{x}|<\varepsilon$ . Por ejemplo, si $\varepsilon = 1$ ¿Cuál es el menor $m$ que satisfaga la propiedad anterior? ¿Y si $\varepsilon = \frac{1}{10}$ ? ¿Y si $\varepsilon=\frac{1}{100}$ ?

Answer 3

Dejemos que $\varepsilon >0$ se da; debemos encontrar un número $M$ tal que para todo $x$ con
$x>M$ lo que implicará $|1/x-0|=|1/x|<\varepsilon$ . La implicación se mantendrá si $M= 1/\varepsilon$ o cualquier número positivo mayor. Esto demuestra que el límite como $x$ tiende a $\infty$ de $1/x$ es igual a $0$ .

Answer 4

La respuesta es una reformulación de la pregunta original: ¿Existe una derivación matemática para demostrar $\lim_{x \to \infty}\tfrac{1}{x} = 0$ sin sólo suponer, adivinar o conocer el resultado y luego confirmarlo, $0$ utilizando la definición del límite, $L$ ?