Suponga que quiere ampliar $\mathbb Q$ de una manera razonable, para lograr la propiedad del mínimo límite superior (lub). Ahora $\mathbb Q$ tiene muchos contraejemplos de la propiedad lub, es decir, muchos subconjuntos $X$ que no son vacíos y están acotados por encima, pero que carecen de un lub en $\mathbb Q$ . Así que lo que se quiere hacer es unir nuevos elementos a $\mathbb Q$ para servir como lubs para todos estos conjuntos $X$ .
Pero entonces te das cuenta de que a menudo algunos distintos $X$ y $Y$ debería tener el mismo lubricante. De hecho, si $X\subseteq\mathbb Q$ como el anterior no tiene lub en $\mathbb Q$ entonces puedes modificarlo, sustituyendo cada elemento $x\in X$ por todos los números racionales menores, para obtener $\hat X=\{y\in\mathbb Q:(\exists x\in X)\,y<x\}$ tal que $\hat X$ es no vacía, acotada por encima y sin un lub en $\mathbb Q$ y además $\hat X$ "debería" tener el mismo lub que $X$ .
Esto hace la vida un poco más fácil: sólo hay que unir lubs para conjuntos como $\hat X$ es decir, para subconjuntos de $Q$ que son cerrados hacia la izquierda (es decir, si el conjunto contiene algún $y$ entonces también contiene todos los racionales $z<y$ ), no vacío, no todo el $\mathbb Q$ y que no tenga ningún elemento mayor en el conjunto, ni un elemento menor en el complemento. Tales conjuntos se denominan a veces cortes Dedekind, y yo utilizaré esta terminología aquí. (Para algunas personas, un corte Dedekind consiste en dos conjuntos, uno como mi $\hat X$ y otro que es el complemento de $\hat X$ . Esta gente llamaría a mi $\hat X$ la mitad izquierda de un corte Dedekind, pero para ser breve, diré simplemente "corte Dedekind").
Así que esencialmente construimos la extensión deseada de $\mathbb Q$ adjuntando un lub para cada corte Dedekind. Ahora hay muchas cosas que comprobar:
(1) El conjunto resultante, ordenado linealmente de forma natural, tiene la propiedad lub. Esto no es obvio porque sólo hemos adjuntado lubs para subconjuntos de $\mathbb Q$ , no para subconjuntos del conjunto ampliado.
(2) Es posible definir la suma y la multiplicación en el conjunto ampliado, de modo que se convierte en un campo ordenado. (Además, la suma y la multiplicación recién definidas, cuando se aplican a los números racionales, coinciden con la suma y la multiplicación originales en $\mathbb Q$ .
La comprobación se hace algo más fácil si se hace la construcción más uniforme. En lugar de mantener los números racionales originales y añadir un nuevo elemento para cada corte Dedekind, utilice sólo elementos asociados a los cortes Dedekind, pero permiten la situación en la que el complemento de un corte Dedekind tiene un elemento más pequeño. Los elementos asociados a estos nuevos cortes Dedekind permitidos corresponderán a los números racionales.
Finalmente, hay que decidir, para cada corte de Dedekind $C$ , cuál debe ser el elemento asociado. En este caso, los matemáticos han adoptado una solución bastante barata pero precisa: La entidad que sirve de nuevo elemento asociado a $C$ es $C$ sí mismo. Hay que acostumbrarse a ello; los elementos del nuevo campo ampliado, incluidos los que corresponden a los números racionales, son establece de los números racionales (cortes Dedekind), por lo que no "parecen" números en absoluto. Pero sirven perfectamente como números, una vez que uno comprueba los puntos (1) y (2) anteriores. Y esta es la construcción habitual de los números reales como cortes Dedekind.
