Estaba tratando de seguir esta prueba del la incontabilidad de R y al principio parecía claro, pero cuando intenté explicármelo me di cuenta de que no entendía bien uno de los pasos.
La prueba es por contradicción, utilizando el teorema de los intervalos anidados:
Supongamos que $\mathbb{R}$ es contable. Entonces podemos definir una biyección desde $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ En otras palabras, podemos asignar cada número en $\mathbb{R}$ un subíndice en $\mathbb{N}$ y obtener la secuencia infinita $R = \{x_1, x_2, x_3, ... \} $ .
Dejemos que $I_1 \subset \mathbb{R}$ sea un intervalo cerrado tal que $x_1 \notin I_1$ . $I_1$ también puede escribirse como $[a_1, b_1]$ con $x_1 < a_1 < b_1$ .
Hasta aquí todo bien. Ahora viene el paso en el que me encontré con dificultades.
Dejemos que $I_2 \subset I_1$ sea un intervalo cerrado tal que $x_2 \in I_1$ y $x_2 \notin I_2$ . $I_2$ tiene límites $a_2, b_2$ . Esto significa que ahora tenemos la siguiente desigualdad $x_1 < a_1 \leq x_2 < a_2 < b_2 < b_1$ .
Pero me parece que para que esto tenga sentido $a_1$ debe ser igual a $x_2$ ya que hemos asumido que $\mathbb{R}$ es contable y sabemos que $\mathbb{R}$ está aumentando. Si no, acabamos de producir un nuevo número en $\mathbb{R}$ entre $x_1$ y $x_2$ que el recuento se saltó.
Ahora, obviamente, el punto de la prueba es mostrar precisamente que $\mathbb{R}$ es incontable y que asignar subíndices naturales a los números reales no te llevará a ninguna parte, pero parece que en ese momento de la prueba estaríamos asumiendo la conclusión.
La prueba pasa a definir $I_{n+1}$ como un intervalo cerrado $\subset I_n$ tal que $x_{n+1} \notin I_{n+1}$ .
Una vez que tenemos estos intervalos construidos de forma que $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset$ ... podemos aplicar el teorema de los intervalos anidados, que nos dice que la intersección de estos conjuntos anidados no es vacía, y obtener: $$\exists x \in \mathbb{R}\;such\;that\; x \in ( \cap I_n \forall n \in \mathbb{N} ) $$
Como hemos asumido $\mathbb{R}$ es contable, sabemos que $x = x_m, m \in \mathbb{N}$ . Por tanto, si la intersección de los conjuntos anidados no es vacía, debe contener un número de la forma $x_m$ .
Pero hemos construido nuestros conjuntos de manera que para cualquier número $x_m$ hay un conjunto anidado $I_m$ que no lo contiene. Así que la intersección de los conjuntos anidados no puede contener ningún número de la forma $x_m$ . Que es la contradicción que buscábamos.
Me parece que el resto de la prueba se mantiene incluso si requerimos que $a_1 = x_2$ (y por extensión $a_n = x_{n+1}$ ). ¿Qué me falta? ¿La prueba sigue siendo válida aunque $a_1$ se permite $\leq x_2$ ? Si es así, ¿por qué?
