Es $f(x) = \frac{3}{\ln⁡(x+2)}$ ¿una función creciente o decreciente?

Question

Es $f(x) = \frac{3}{\ln(x+2)}$ ¿una función creciente o decreciente? ¿Y es una función invertible? Sé que una función creciente es cuando $f'(x)>0$ pero no estaba seguro de la respuesta con la función anterior?

Answer 1

Tomando la derivada de $f(x)$ tenemos :

$$f'(x) = \bigg( \frac{3}{\ln⁡(x+2)} \bigg)' =-\frac{3}{(x+2)\ln^2(x+2)}.$$

Tenga en cuenta que, para que su función esté bien definida, necesitará

$$x+2 >0 \Leftrightarrow x > -2,$$ y $$x+2 \neq 1 \Leftrightarrow x \neq -1.$$

Pero $\forall x>-2$ , $f'(x) <0$ , lo que significa que su función es estrictamente decreciente.

Como su función es estrictamente decreciente, también es $``1-1"$ lo que significa que existe su función inversa $f^{-1}(x)$ .

Answer 2

¿En qué ámbito considera la función? Supongo que $x>-1$ tal que $\ln(x+2)>0$ .

Calcula $f'(x)=-\frac{3}{(x+2)\ln^2(x+2)}<0$ para todos $x>-1$ . Por lo tanto, $f$ es estrictamente decreciente, y por tanto inyectiva.

Para hablar de bijetividad se necesita una definición adecuada de $f$ con dominio y rango. Dado que $f$ es inyectiva, es biyectiva sobre su imagen $f((-1,\infty))=(0,\infty)$ .

Answer 3

La función $x\mapsto x+2$ es creciente, por lo que $x\mapsto \ln(x+2)$ es creciente y por lo tanto $x\mapsto {3\over \ln(x+2)}$ es decreciente en $(-1,\infty)$ y en $(-2,-1)$ .

Answer 4

Sí es creciente e invertible, para estar seguro lo mejor es hacer un estudio para la función con una gráfica

para la inversa, dejemos que $$y=f(x) = \frac{3}{\ln⁡(x+2)}\iff$$ $$\ln⁡(x+2)= \frac{3}{y}\iff $$ $$x+2= e^\frac{3}{y} \iff$$ $$x= e^\frac{3}{y}-2 \iff$$

así

$$f^{-1}(x)= e^\frac{3}{x}-2$$

Answer 5

$$f'(x) = -\frac{3}{(2 + x) \ln^2(2 + x)}$$ que se ve así:

Desde $f'(x) < 0$ para todos $x$ es estrictamente decreciente, lo que significa que es unívoca (biyectiva) y, por tanto, invertible.