Identidad de las integrales de Fresnel

Question

En el documento E. Mehlum, Appell y la manzana (splines no lineales en el espacio), Technical Report No. 1676 (1981), Central institute for industrial research, Oslo (reproducido en el libro Mathematical Methods for Curves and Surfaces, páginas 365-384, Vanderbilt University Press, 1995) podemos encontrar la siguiente identidad interesante $$S^2(x)+C^2(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}x^{4n+2}}{(2n+1)(4n+1)!!},$$ que implican integrales de Fresnel $$S(x)=\int\limits_0^x \sin{(t^2)}dt,\;\;\; C(x)=\int\limits_0^x \cos{(t^2)}dt.$$ En el documento se demuestra la identidad de forma indirecta como un subproducto de la solución de un problema intrincado. El autor también menciona que la identidad puede deducirse directamente de la definición de las integrales de Fresnel, pero no proporciona ningún detalle de dicha deducción. ¿Cómo se puede demostrar esta identidad? Sospecho que podemos utilizar $$\int\limits_0^x dy\int\limits_0^y dz\;\cos{(y^2-z^2)}=\frac{1}{2}(C^2(x)+S^2(x))$$ y la representación en serie Taylor-MacLaurin de la función coseno.

Answer 1

Parece más fácil integrar sobre el cuadrado de la unidad, dando

$$ C^2(x) + S^2(x) = \int_0^x \int_0^x \cos(y^2-z^2) \;\mathrm{d}y\;\mathrm{d}z. $$

Utilizando la serie de Taylor para el coseno, y luego normalizando la integral estableciendo $s = xy$ , $t = xz$ , da

$$ C^2(x) + S^2(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{4n+2} \int_0^1 \int_0^1 (s^2-t^2)^{2n} \; \mathrm{d}s \; \mathrm{d}t. $$

Por tanto, basta con demostrar que

$$ \int_0^1 \int_0^1 (s^2-t^2)^{2n} \;\mathrm{d}s\; \mathrm{d}t = \frac{2^{2n}(2n)!}{(2n+1)(4n+1)!!}. $$

Esto se puede hacer inmediatamente con Mathematica (aunque no con Maple, para mi sorpresa). Alternativamente, aquí hay una prueba corta usando coeficientes binomiales. Expande el lado izquierdo utilizando el teorema del binomio y realiza ambas integraciones para obtener la identidad equivalente

$$ \sum_{m=0}^{2n} \binom{2n}{m} \frac{(-1)^m}{(2m+1)(4n-2m+1)} = \frac{2^{2n}(2n)!}{(2n+1)(4n+1)!!}. $$

Usando fracciones parciales en el lado izquierdo esto es equivalente a

$$ \sum_{m=0}^{2n}\binom{2n}{m} \frac{(-1)^m}{2m+1} = \frac{2^{2n}(2n)!}{(4n+1)!!} $$

que se desprende de una integral más básica, a saber

$$ \int_{0}^1 (1-u^2)^{2n} \;\mathrm{d} u = \frac{2^{4n}}{4n+1} \binom{4n}{2n}^{-1}. $$