Matriz derivada de $\mbox{Tr} (\mathbf{AXB})$

Question

El libro de cocina de Matrix dice que:

$\frac{\partial}{\partial\mathbf{X}} Tr\{\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{B}\} = \mathbf{A^T}\mathbf{B^T}$

Parece que no puedo conseguir esto. Ya lo sé:

$\frac{\partial}{\partial\mathbf{X}} Tr\{F(\mathbf{X})\} = f(\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{B})^T$

Donde $f$ es la derivada escalar de $F$ .

Así que cuando aplico la regla: $\partial \mathbf{XY} = \partial \mathbf{X} \mathbf{Y} + \mathbf{X} \partial \mathbf{Y}$

Yo sí:

Déjalo: $\mathbf{C} = \mathbf{X}\mathbf{B}$

Entonces: $\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{B} = \mathbf{A}\mathbf{C}$ .

$\frac{\partial}{\partial\mathbf{X}} \mathbf{A}\mathbf{C} = \frac{\partial}{\partial\mathbf{X}} \mathbf{A} \mathbf{XB} + \mathbf{A} \frac{\partial}{\partial\mathbf{X}}\mathbf{X}\mathbf{B} = \mathbf{AB}$

Pero entonces:

$(\mathbf{AB})^{T} = \mathbf{B^TA^T} \neq \mathbf{A^{T}B^{T}}$

¿Estoy confundiendo la noción de derivada escalar y derivada matricial? ¿Cómo puedo verificar la afirmación del Libro de Cocina?

Answer 1

El producto interno de la matriz (denotado por dos puntos) es equivalente a la traza $$A^T:B = {\rm tr}(AB)$$

Por lo tanto, $$\eqalign{ f &= {\rm tr}(AXB) \cr &= {\rm tr}(BAX) \cr &= (BA)^T:X \cr &= A^TB^T:X \cr \cr df &= A^TB^T:dX \cr \cr \frac{\partial f}{\partial X} &= A^TB^T \cr }$$

Answer 2

Supongo que el dominio es el espacio de $n\times n$ -matrices $M(n,n)$ . La función $f(X)=Tr(AXB)$ es una función lineal $M(n,n)\rightarrow R$ desde $f(X+Y)=Tr(A(X+Y)B)=Tr(AXB)+Tr(AYB)$ . Por tanto, es igual a su diferencial. Para calcular su matriz en la base $e_{ij}$ donde $e_{ij}$ es la matriz que tiene $1$ en el $(i,j)$ -lugar ( $i$ es la línea y $j$ la columna) y todos los demás coeficientes son cero.

$Tr(Ae_{ij}B)=Tr(ABe_{ij})$ . El único coeficiente no nulo en la diagonal de $ABe_{ij}$ es el $(j,j)$ que es el coeficiente $(j,i)$ de $AB$ que es $\sum_ka_{jk}b_{ki}$ y este es el coeficiente $(i,j)$ de $(AB)^T=B^TA^T$ .