¿Por qué es $L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)$ denso en $ L^2(\mathbb{R}^n)$?

Question

En Lieb y la Pérdida de Análisis, vi que mencionan $L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)$ denso en $ L^2(\mathbb{R}^n)$ (denso respecto de la $L^2$ norma, creo). Pero yo no encontrar su prueba en el libro. Así que me pregunto por qué es?

¿Esta conclusión presionado para $L^1(\Omega, \mathcal{F}, \mu) \cap L^2(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ para cualquier medir el espacio $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$?

Hay declaraciones similares si reemplazar$L^1$$L^p$, e $ L^2$ $L^q$ $p \leq q \in (0, \infty ]$ o $\in [1, \infty]$?

Gracias y saludos!

Answer 1

Déjame recoger todos los comentarios en una sola respuesta.

Desde el espacio de integrar funciones simples es denso en $L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ todos los $p\in[1,+\infty)$, y además, todas las funciones simples son en $L^\infty(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, $\bigcap_{1\leq p\leq\infty}L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ es denso en $L^q(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ todos los $q\in[1,+\infty)$.

Si $q=\infty$ la respuesta depende de si o no $\mu$ es finito.

• Si $\mu$ es finito, entonces $L^\infty(\Omega, \mathcal{F}, \mu)\subseteq L^p(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ por cada $p$, por lo que obviamente podemos poner $q=\infty$ por encima.
• Si $\mu$ es infinito (como la medida de Lebesgue), entonces cualquier valor distinto de cero función constante es en $L^\infty$, pero muy lejos de cualquier función integrable (ya que no integrable función puede ser delimitada de distancia de cero en un conjunto de medida infinita).

Vale la pena mencionar, si no esenciales para este ejercicio, es que si $\Omega,\mu$ están suficientemente bien comportados ($\Omega$ es localmente compacto Hausdorff, $\mu$ es interior y exterior, regular, localmente finito), luego es compacto admite funciones continuas son densos en cada una de las $L^p(\mu)$$p<\infty$. Esto se aplica en particular a Haar medidas localmente compacto Hausdorff grupos, tales como la medida de Lebesgue.