Sea G un grupo de Lie conectado. Entonces por el teorema de Cartan existe un difeomorfismo $$ G \cong K \times \mathbb{R}^n $$ donde K es un subgrupo compacto maximal de G. Ahora dejemos que M sea una variedad homogénea. En otras palabras, existe un grupo de Lie G que actúa transitivamente sobre M. ¿Es cierto que la deformación de M se retrae sobre una submanifolda compacta? Un poco más fuerte, ¿es cierto que existe un difeomorfismo $$ M \cong K \times \mathbb{R}^n $$ donde K es un submanifold compacto de M?
Respuesta
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Considere el siguiente ejemplo. Sea $G=SL(2, {\mathbb R})$ y $\Gamma< G$ un subgrupo discreto que es libre de rango infinito. Forma el colector cociente $M=G/\Gamma$ . Entonces $G$ actúa sobre $M$ mediante la multiplicación por la izquierda: La acción es suave y transitiva, por lo tanto, $M$ es homogénea. Pero $M$ tiene un grupo fundamental no generado infinitamente, por lo tanto, no puede ser homotópico-equivalente a una variedad compacta.
Por supuesto, la respuesta es diferente para Riemanniano homogéneo de las variedades de Riemann, es decir, para las variedades de Riemann $M$ que admiten acciones transitivas de grupos de Lie isométricos $G\times M\to M$ . Tal acción tiene un estabilizador de puntos compacto $H< G$ y, por lo tanto, $M$ es homeomorfo a $G/H$ . Tomando un subgrupo compacto máximo $K< G$ que contiene $H$ vemos que $G/H$ es homotopía equivalente a $K/H$ que es un colector compacto.
Editar. Aquí hay una construcción semiexplícita. Comienza con un número contable de círculos redondos $C_n, n\in {\mathbb Z}- \{0\}$ en el plano complejo ${\mathbb C}$ cuyos centros se encuentran en el eje x y que delimitan discos abiertos disjuntos. Por ejemplo, tomemos centros que sean enteros pares y radios unitarios. Para cada círculo $C=C(a,r)$ en el plano complejo definen la inversión $J_C$ en este círculo por la fórmula: $$ J_C(z)= \frac{r^2}{\bar{z} +a} -a. $$ Ahora, para cada $n$ dejar $g_n$ denotan la composición de las inversiones $$ g_n=J_{C_n}\circ J_{C_{-n}}. $$ Serán transformaciones lineales-fraccionarias del plano complejo extendido preservando el semiplano superior: $$ g_n(z)= \frac{a_n z+b_n}{c_n z+ d_n}, a_nd_n -b_n c_n=1, a_n, b_n, c_n, d_n\in {\mathbb R}. $$ Os dejo que calculéis los coeficientes en función de los centros y los radios.
Es un hecho estándar que las transformaciones $g_n$ generan libremente un subgrupo discreto de $PSL(2, {\mathbb R})$ . Mi referencia favorita para este personal es el libro de Beardon "The Geometry of Discrete Groups".
