Acabo de empezar a leer el libro "Una breve historia del tiempo" de Stephen Hawking. En realidad, cuando hablaba de la idea de la densidad infinita "cosa" antes de big bang de repente la función matemática vino a mi mente fue la función de impulso delta Dirac estoy familiarizado en las clases de ingeniería. Pero eso era normalmente en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia y también era unidimensional. La transformada de Fourier dual de la función delta es una constante plana desde menos infinito hasta más infinito. ¿Cómo puedo modelar una función delta Dirac 2D y 3D en el espacio y encontrar su correspondiente transformada de Fourier dual. ¿También cuál será el dual del espacio en el dominio de Fourier?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mark Elliot
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La delta de Dirac multidimensional suele definirse como $$\delta_{3D}(x,y,z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)$$
Puedes encontrar su transformada de Fourier como una convolución de constantes, que seguirá pareciendo constante. Alternativamente, puedes usar la definición y encontrar la integral triple, que dará el mismo resultado:
$$\mathcal{F}\{\delta_{3D}(x,y,z)\}=\frac1{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}\iiint_{\mathbb R^3} e^{-i (k_xx+k_yy+k_zz)}\delta(x)\delta(y)\delta(z)\operatorname dV=\\ =\frac1{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3}$$
Doble de Fourier del espacio de posiciones $\vec r$ sería el espacio de las frecuencias espaciales, o vectores de onda $\vec k$ .
